Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple solo para las soluciones de la misma.
En su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la resolución de cuestiones relacionadas con la física y con la geometría: las leyes del movimiento planetario (en el que intervienen distancias, velocidades y aceleraciones; o lo que es lo mismo, leyes de posición y sus derivadas primeras y segundas en función del tiempo); problemas relacionados con el equilibrio de un cable en suspensión (catenaria); la trayectoria de caída en el menor tiempo posible entre dos puntos dados (braquistocrona); o las leyes de difusión del calor.
Las ecuaciones diferenciales no comienzan con el nacimiento del cálculo de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (o fluentes).
Sin embargo, incluso habiendo logrado tal separación de variables, aunque no siempre es el caso, continúa el problema de reducir las cuadraturas a otras más simples.
Además, Johann Bernoulli destaca en su Lectiones mathematicae en 1691, que la separación de variables puede ocultar la naturaleza del problema.
escrita como variables separables involucra, en apariencia curvas logarítmicas cuando, en realidad, la solución es algebraica:
Este es el caso de Jacopo Riccati (1676-1754) quien presentó en 1723 la ecuación que lleva su nombre:
En 1776, Lagrange nota que este resultado puede también ser demostrado usando el método de variación de la constante, que se convirtió en el método general más utilizado.
En 1758, Euler enfatizó la paradoja dual de tales soluciones singulares en el cálculo integral.
Estas soluciones son obtenidas no por integración, sino por diferenciación de ecuaciones diferenciales.
A medida que se comienzan a estudiar sistemas físicos más complejos, por ejemplo en la astronomía, se requiere resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ni siquiera en los primeros años del siglo XIX, los matemáticos se preocupaban por la existencia de soluciones asociadas a ecuaciones diferenciales.
Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1857), quien primero se vio motivado por este tema.
En sus cursos impartidos en la Escuela Politécnica, demostró por primera vez la solubilidad del problema
Cauchy presentó diferentes procedimientos para la demostración de la existencia en el plano real y complejo, pero no es hasta 1868 que Rudolf Lipschitz (1832-1903) demuestra la existencia y unicidad bajo condiciones más generales, precisamente para
En el estudio de ciertos sistemas físicos, resulta interesante, y casi siempre necesario, conocer propiedades (de las soluciones de la ecuación o sistema que modela el fenómeno) tales como acotamiento, estabilidad, periodicidad, etc., sin tener que recurrir a la ardua y laboriosa tarea, que en muchos casos es impracticable, de encontrar expresiones analíticas para las soluciones.
Partiendo de que no pueden ser resueltas analíticamente en su mayoría, intenta estudiar sus propiedades directamente desde la ecuación.
Por otra parte, los trabajos de Aleksandr Liapunov (1857-1918) sentaron bases sólidas para la naciente Teoría Cualitativa.
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hizo aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.
El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX.
Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.
El inglés George Green (1793-1841) hizo aportes a la física matemática, óptica, electricidad y magnetismo, originó el término “potencial”, función de Green.
El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hizo aportes al electromagnetismo, sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.
El francés Charles Hermite (1822-1901) estudió la teoría de números, prueba (1873) la trascendencia del número e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.
Matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hizo aportes al álgebra, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos problemas, algunos todavía sin solución.
iii) Número de primos menores que una cantidad dada.
El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría algebraica, topología, variable compleja, método de Picard y teoremas de existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales.
El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis matemático, ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros miembros más jóvenes de su familia.
Contribuciones a la variable compleja, geometría no euclidiana, funciones elípticas, ecuaciones diferenciales parciales.
Matemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia determinantes, introduce el wronskiano, filosofía.