La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild para álgebras sobre un cuerpo, y generalizada sobre anillos por Cartan y Eilenberg (1956).
Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa, y M un A-bimódulo.
Los bimódulos sobre A son esencialmente los módulos sobre el álgebra envolvente de A, así que, en particular, A y M pueden considerarse como Ae-módulos.Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del funtor Tor y el funtor Ext como Sea k un anillo, A una k-álgebra asociativa que es un k-módulo proyectivo, y M un A-bimódulo.
Esto es, hay un funtor Δo → k-mod, donde Δ es la categoría simplicial y k-mod es la categoría de los k-módulos.
Aquí, Δo es la categoría opuesta de Δ.