Identidad de polarización

el producto interior de los vectores x e y, entonces el teorema en cuestión (atribuido a Fréchet, von Neumann y Jordan) establece:[1]​[2]​ Todas las formas siguientes están relacionadas por la regla del paralelogramo: La identidad de polarización puede ser generalizada a varios contextos como el álgebra abstracta, el álgebra lineal, o el análisis funcional.

Si V es un espacio vectorial sobre los reales, entonces el producto interior definido por la identidad de polarización es Si V es un espacio vectorial complejo, el producto interior dado por la identidad de polarización será en este caso donde

Nótese que el producto interior así definido es anti-lineal en su primera componente y lineal en la segunda.

( son vectores ortogonales), el ángulo θ = π/2 o −π/2, donde el signo lo determina la orientación en el espacio vectorial.

En álgebra lineal sobre los números complejos, es común usar un producto interior sesquilinear, con la propiedad de que

En este caso las identidades de polarización estándares solo dan la parte real del producto interior: Utilizando

Esto está revisado en mayor detalle en el artículo polarización de una forma algebraica.