Malayev nació en Mary, República Socialista Soviética de Turkmenistán (actual Turkmenistán), en el seno de una familia judía originaria de Bujará, cuyos padres fueron Efraim y Yelizaveta Malayev, y se crio en la ciudad uzbeka de Kattaqo‘rg‘on, ubicado cerca de Bujará.
En 1951, se mudó a Taskent, donde actuó con varios conjuntos patrocinados por el Estado, y se hizo popular como animador en varias áreas, presentando rutinas de comedia, sus propias canciones, poemas y extractos de shashmaqam.
Decenas de miles de seguidores acudían a sus eventos realizados en estadios locales.
A pesar de que era una persona muy conocida y popular en Uzbekistán, Malayev emigró porque no podía publicar su poesía en su tierra natal, restricción que según él, se debía al antisemitismo o al estado de la burocracia cultural soviética.
[1] El 29 de mayo de 2011, se realizó un concierto honorífico en Queens, celebrando los 75 años del natalicio de Malayev, donde verios artistas uzbekos y judíos de Bujará rindieron homenaje al poeta.