Era el padre de la conocida actriz Jennifer Aniston.
Aniston nació como Giannis Anastasakis (griego: Γιάννης Αναστασάκης) en La Canea en la isla de Creta, Grecia.
Sus padres emigraron a los Estados Unidos cuando Aniston tenía dos años, y abrieron un restaurante en Chester, Pensilvania.
Sirvió en la Marina de Estados Unidos como oficial de inteligencia en servicio activo en Panamá, y más tarde en la reserva.
John tuvo una hija, la actriz Jennifer Aniston (nacida en 1969), con su primera esposa, Nancy Dow, y también un hijo, Alexander, con su segunda esposa, Sherry Rooney Aniston (a quién había conocido mientras trabajaban en "Love of Life", cuando interpretó a una abogada llamada Dory Patten, que estaba enamorada de su personaje, Eddie Aleata).