[1] Realizó sus estudios de primaria y secundaria en Salamanca, donde su padre trabajaba como fiscal.
El bachillerato lo cursó entre 1900 y 1906 en el Instituto Fray Luis de León, al mismo tiempo estudió música en la Escuela de Nobles y Bellas Artes de San Eloy.
Posteriormente realizó un doctorado y defendió su tesis en 1929 ganando el primer premio extraordinario.
Barinaga presidió en 1937 la Sociedad Matemática Española, donde su participación fue intensiva al mismo tiempo que en el Laboratorio y Seminario Matemático.
Pero, la Guerra Civil perturbó el crecimiento e investigaciones de Barinaga.