En 1899, ingresó en el Conservatorio de San Petersburgo, y estudió violín con el famoso maestro Leopold Auer.
Se unió a la Sociedad para la música popular judía en 1911, donde enseñó esa tradición.
Pasó la Primera Guerra Mundial en Rusia, dedicado principalmente a tocar para las tropas rusas.
En Nueva York, Achron compuso música en yiddish para Maurice Schwartz, del 'Art Theater', y remodeló su música para Sholem Aleijem; El violinista, 1929, que fue una suite para violín y piano.
En 1932, presentó un bloque musical extraído de su música, Der Golem, para H. Leivick, en el que adoptaba ya elementos atonales.
Achron murió a los 56 años; su última obra terminada fue el Concierto para Piano Solo op.