Cuando Oncina tenía nueve años, la familia se trasladó a Orán (Argelia francesa).
Inició sus estudios vocales en el Conservatorio de París, donde pasó tres años antes de trasladarse a Barcelona para estudiar con la soprano Mercedes Capsir.
Debutó en el Teatro Municipal de Gerona, como des Grieux en Manon, en 1946 junto a su maestra Mercedes Capsir.
[1] También cantó ese año El barbero de Sevilla y La sonámbula en Bilbao.
El punto de inflexión en su carrera se produjo en 1952, cuando debutó en el Festival de Glyndebourne, donde actuó hasta 1961, especialmente en papeles de Rossini como Almaviva, Lindoro en La italiana en Argel, Ramiro en La Cenicienta y, sobre todo, como El conde Ory, posiblemente su mayor éxito.