Lema del número de Lebesgue

En topología, el lema del número de Lebesgue, nombrado así por Henri Lebesgue, es una herramienta útil en el estudio de espacios métricos compactos.

es compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito

como número de Lebesgue y hemos acabado.

Supongamos pues que no: para cada

, que será pues no vacío, y definamos la función

es continua en un conjunto compacto, por el teorema de Weierstrass, alcanza su mínimo

Ahora podemos verificar que este

es el número de Lebesgue deseado.

, entonces, por definición de diámetro, existe

denota la bola de radio

tomado), tiene que existir al menos un

es compacto métrico, es secuencialmente compacto, es decir, toda sucesión de puntos de

es secuencialmente compacto y que

que no tiene un número de Lebesgue y llegaremos a contradicción.

Que el recubrimiento no tenga un número de Lebesgue quiere decir que para cualquier

de diámetro menor que

que no está contenido en ningún

sirve como número de Lebesgue del recubrimiento).

, podemos construir una sucesión de subconjuntos

De esta última "no inclusión" se deduce que los

son no vacíos (si lo fueran, estarían incluidos en cualquier conjunto; en particular, en

es secuencialmente compacto, esta sucesión tiene una subsucesión convergente

Nuestro objetivo es ver que para un

, lo que entra en contradicción con nuestras hipótesis.

es un abierto métrico, existe un radio

suficientemente pequeño tal que

suficientemente grande, todos los elementos de la sucesión estarán en

suficientemente grande tal que

Se tiene que: Ahora, por desigualdad triangular,

, de donde se deduce que