En topología, el lema del número de Lebesgue, nombrado así por Henri Lebesgue, es una herramienta útil en el estudio de espacios métricos compactos.
es compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito
como número de Lebesgue y hemos acabado.
Supongamos pues que no: para cada
, que será pues no vacío, y definamos la función
es continua en un conjunto compacto, por el teorema de Weierstrass, alcanza su mínimo
Ahora podemos verificar que este
es el número de Lebesgue deseado.
, entonces, por definición de diámetro, existe
denota la bola de radio
tomado), tiene que existir al menos un
es compacto métrico, es secuencialmente compacto, es decir, toda sucesión de puntos de
es secuencialmente compacto y que
que no tiene un número de Lebesgue y llegaremos a contradicción.
Que el recubrimiento no tenga un número de Lebesgue quiere decir que para cualquier
de diámetro menor que
que no está contenido en ningún
sirve como número de Lebesgue del recubrimiento).
, podemos construir una sucesión de subconjuntos
De esta última "no inclusión" se deduce que los
son no vacíos (si lo fueran, estarían incluidos en cualquier conjunto; en particular, en
es secuencialmente compacto, esta sucesión tiene una subsucesión convergente
Nuestro objetivo es ver que para un
, lo que entra en contradicción con nuestras hipótesis.
es un abierto métrico, existe un radio
suficientemente pequeño tal que
suficientemente grande, todos los elementos de la sucesión estarán en
suficientemente grande tal que
Se tiene que: Ahora, por desigualdad triangular,
, de donde se deduce que