Mandelbulbo
El mandelbulbo (nombre original en inglés: mandelbulb) es un fractal tridimensional, construido por primera vez en 1997 por Jules Ruis y desarrollado en 2009 por Daniel White y Paul Nylander utilizando coordenadas esféricas.
No existe un conjunto de Mandelbrot tridimensional canónico, ya que no existe un análogo tridimensional del espacio bidimensional de los números complejos.
En cambio, sí que es posible construir conjuntos de Mandelbrot en 4 dimensiones usando cuaterniones o números bicomplejos.
La fórmula de White y Nylander para la "nésima potencia" del vector
en ℝ3 es donde El mandelbulbo se define entonces como el conjunto de aquellos
Sin embargo, las ecuaciones se pueden simplificar en polinomios racionales cuando n es impar.
Por ejemplo, en el caso n = 3, la tercera potencia se puede simplificar en la forma más elegante: El mandelbulbo dado por la fórmula anterior es en realidad uno de una familia de fractales dados por parámetros (p, q) dados por Dado que p y q no necesariamente tienen que ser iguales a n para que se mantenga la identidad |vn| = |v|n, se pueden encontrar más fractales generales estableciendo que para las funciones f y g. Otras fórmulas provienen de identidades que parametrizan la suma de cuadrados para dar una potencia de la suma de cuadrados, como que se puede considerar con la forma de cubo un triplete de números para que el módulo sea al cubo.
Entonces esto da, por ejemplo, u otras permutaciones.
Esto se reduce al fractal complejo
para algún número entero m y agregando términos para hacerlo simétrico en 3 dimensiones pero manteniendo las secciones transversales para que sean el mismo fractal bidimensional.
El 4 proviene del hecho de que
Por ejemplo, se puede tomar el caso de
, esto es Esto puede ampliarse luego a tres dimensiones para dar para constantes arbitrarias A, B, C y D, que dan diferentes mandelbulbos (generalmente establecidos en 0).
da un mandelbulbo muy similar al primer ejemplo, donde n = 9.
Se obtiene un resultado con un aspecto más curioso para la quinta potencia basándose en la fórmula
Posee 32 bulbos pequeños que brotan de la esfera principal.
Está definido por, por ejemplo, Esta fórmula se puede escribir de forma más breve como: y de forma equivalente para las otras coordenadas.
Una fórmula esférica perfecta se puede definir mediante donde donde a su vez f, g y h son trinomios racionales de la nésima potencia y n es un número entero.
