Tras un breve paso por las categorías inferiores del FC Alpnach, localidad situada al norte de su ciudad natal de Sarnen, Marco Burch se unió a la cantera del FC Lucerna a mediados de la década de 2010.
Debutó como titular y disputó el encuentro completo en la derrota a domicilio por marcador de 1-0.
[1] Durante los siguientes cuatro años, el defensa se convirtió en un habitual en el once inicial de los Die Leuchten, anotando su primer gol en la victoria por 1-2 en Liechtenstein ante el FC Vaduz el 1 de mayo de 2021.
[2] Para la temporada 2022-23 fue nombrado nuevo capitán del equipo.
[4][5] El defensa suizo no contó en los planes del entrenador Kosta Runjaić y, tras reunir únicamente ocho encuentros oficiales con el club legionario desde su llegada a Polonia, fue relegado a las reservas del equipo en la III Liga.