Matriz de rotación
[1] Por ejemplo, la matriz representa la rotación de θ grados del plano en sentido antihorario.
En tres dimensiones, las matrices de rotación representan las rotaciones de manera concisa y se usan frecuentemente en geometría, física e informática.
Sin embargo, se pueden definir sobre otros cuerpos.
En dos dimensiones la matriz de rotación tiene la siguiente forma: Para rotar vectores columna, se multiplica por la matriz de la siguiente forma: Así las coordenadas
después de la rotación son: La dirección del vector rotado es antihoraria si θ es positiva (por ejemplo 90°), y tiene sentido horario si θ es negativo (por ejemplo -90°).
Por lo tanto la matriz de rotación horaria es: Se observa que el caso de dos dimensiones es el único caso no trivial donde el grupo de matrices de rotación es conmutativo, esto quiere decir que no importa el orden en que se realicen varias rotaciones.
Si se tiene un eje arbitrario definido por el vector unitario
, la matriz de rotación de un ángulo θ sobre el eje definido por el vector u viene dada por: Es fácil verificar que las rotaciones básicas definidas previamente pueden obtenerse como casos particulares de esta última matriz.
Para mayores detalles geométricos remitirse a la fórmula de rotación de Rodrigues, donde puede comprobarse que se llega al mismo resultado obtenido.
