Número perfecto múltiple
Para un número natural k dado, un número n se llama k-perfecto (o k veces-perfecto) si y solo si la suma de todos los divisores positivos de n (la función divisor, σ(n)) es igual a kn; un número es por lo tanto perfecto si y solo si es 2-perfecto.
[1] Se desconoce si hay números perfectos múltiples impares que no sean 1.
La siguiente tabla ofrece una descripción general de los números k perfectos más pequeños conocidos para k ≤ 11 (sucesión A007539 en OEIS): Se puede probar que: Se desconoce si existen números perfectos múltiples impares distintos de 1.
Solo hay seis números triperfectos conocidos y se cree que estos comprenden todos esos números: 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (sucesión A005820 en OEIS) Si existe un número perfecto impar m (un famoso problema abierto) entonces 2m sería 3 perfecto, ya que σ(2m)= σ(2)*σ(m)= 3*2m.
Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado superior a 1070 y tener al menos 12 factores primos distintos, el mayor superior a 105.
[5] Se puede hacer una extensión similar para los números perfectos unitarios.
Un número perfecto múltiple unitario es simplemente un número perfecto k múltiple unitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples unitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ*(n).
El concepto de divisor unitario se debió originalmente a R. Vaidyanathaswamy (1931), quien llamó a dicho divisor factor de bloque.
Los primeros números perfectos múltiples unitarios son: Un entero positivo n se denomina número perfecto k múltiple biunitario si σ**(n)= kn donde σ**(n) es la suma de sus divisores unitarios.
Este concepto se debe a Peter Hagis (1987).
Un número perfecto múltiple biunitario es simplemente un número perfecto k múltiple biunitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples biunitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ**(n).
Peter Hagis (1987) demostró que no existen números perfectos múltiples biunitarios impares.
