Un ejemplo es la secuencia de números primos (3, 7, 11), que está dada por
Por ejemplo, se puede utilizar con números primos en una progresión aritmética de la forma
, donde a y b son coprimos que, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contienen infinitos números primos, además de infinitos compuestos.
Cualquier progresión aritmética dada de números primos tiene una longitud finita.
[1] Se sigue inmediatamente que hay infinitas PA-k para cualquier k dado.
(De H. J. Weber, "Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.)
Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los primos k a 2018, el mayor primo para el que esto se confirma es k = 19, para esta PA-19 encontrada por Wojciech Izykowski en 2013: Se deduce de conjeturas ampliamente aceptadas, como la conjetura de Dickson y algunas variantes de la conjetura de la k-tupla de primos, que si p > 2 es el primo más pequeño que no divide a a, entonces hay infinitas PA-(p+1) con diferencia común a.
Téngase en cuenta que la PA-k más grande conocida puede ser el final de una PA-(k+1).
La primera PAPC-10 conocida fue encontrada en 1998 por Manfred Toplic en el proyecto computación distribuida CP10, que fue organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann.
La única otra PAPC-10 conocida a partir de 2018 fue encontrada por el mismo equipo 2008.
[8] La primera aparición de una PAPC-k solo se conoce hasta k = 6 (sucesión A006560 en OEIS).