Números primos en progresión aritmética

Un ejemplo es la secuencia de números primos (3, 7, 11), que está dada por

Por ejemplo, se puede utilizar con números primos en una progresión aritmética de la forma

, donde a y b son coprimos que, según el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, contienen infinitos números primos, además de infinitos compuestos.

Cualquier progresión aritmética dada de números primos tiene una longitud finita.

[1]​ Se sigue inmediatamente que hay infinitas PA-k para cualquier k dado.

(De H. J. Weber, "Less Regular Exceptional and Repeating Prime Number Multiplets", arXiv:1105.4092[math.NT], Sect.3.)

Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los primos k a 2018, el mayor primo para el que esto se confirma es k = 19, para esta PA-19 encontrada por Wojciech Izykowski en 2013: Se deduce de conjeturas ampliamente aceptadas, como la conjetura de Dickson y algunas variantes de la conjetura de la k-tupla de primos, que si p > 2 es el primo más pequeño que no divide a a, entonces hay infinitas PA-(p+1) con diferencia común a.

Téngase en cuenta que la PA-k más grande conocida puede ser el final de una PA-(k+1).

La primera PAPC-10 conocida fue encontrada en 1998 por Manfred Toplic en el proyecto computación distribuida CP10, que fue organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann.

La única otra PAPC-10 conocida a partir de 2018 fue encontrada por el mismo equipo 2008.

[8]​ La primera aparición de una PAPC-k solo se conoce hasta k = 6 (sucesión A006560 en OEIS).