[1] McBurnie comenzó jugando en las categorías inferiores del Leeds United a temprana edad.
Posteriormente, se unió a la academia del Bradford City, aunque jugó para el Manchester United durante la Milk Cup 2013.
Al final de la temporada 2013-14, el club le ofreció un nuevo contrato, que no aceptó.
[10] El 17 de agosto, jugó su primer partido en la Premier League sub-21, anotando el único gol del encuentro frente al Brighton.
[11] En su primer partido con el equipo, anotó una tripleta en una victoria frente al Luton Town.
[17] Al comienzos de la temporada 2017-18, jugó con el primer equipo del Swansea City.
[27] En marzo de 2018 fue convocado por primera vez a la selección absoluta, por el entrenador Alex McLeish.
[28] Debutó con el equipo el 23 de marzo, en una derrota por 1-0 frente a Costa Rica.