En matemáticas y física teórica, un operador diferencial invariante es un mapeo matemático de algunos objetos a un objeto de tipo similar.
Estos objetos son típicamente funciones en
, las funciones en un variedad, funciones vectoriales valoradas, campos vectoriales, o más generalmente, secciones de un fibrado vectorial .
, la palabra diferencial indica que el valor
La palabra referencial indica que el operador contiene cierta simetría.
Esto significa que hay un grupo
que tiene una acción sobre las funciones (u otros objetos en cuestión) y esta acción se conmuta con la acción del operador: Por lo general, la acción del grupo tiene el significado de un cambio de coordenadas (cambio de observador) y la invarianza significa que el operador tiene la misma expresión en todas las coordenadas admisibles.
Sea M = G/H un espacio homogéneo para un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H. Cada representación
da lugar a un fibrado vectorial Las secciones
pueden identificarse con De esta forma, el grupo G actúa en secciones a través de Ahora, sea V y W dos fibrados vectoriales sobre M. Luego un operador diferencial que asigna secciones de V a secciones de W se llama invariante si para todas las secciones
y elementos g en G. Todos los operadores lineales de diferenciales invariantes en geometrías parabólicas homogéneas, es decir, cuando G es semi-simple y H es un subgrupo parabólico, se dan dualmente por homomorfismos del módulo generalizado de Verma.
, decimos que un operador es invariante si no cambia la forma del operador cuando cambiamos de una conexión en la clase de equivalencia a otro.
Por ejemplo, si tenemos en cuenta la clase de equivalencia de todas las conexiones de torsión libre , entonces el tensor Q es simétrico en sus índices más bajos, es decir,
Por lo tanto, nosotros podemos calcular donde los corchetes denotan simetrización por sesgo.
Esto muestra la invarianza de la derivada exterior cuando actúa sobre una de las formas.
En conexiones, las clases de equivalencia, surgen naturalmente en geometría diferencial, por ejemplo: es un operador diferencial invariante lineal conforme, entre campos vectoriales y tensores simétricos de traza libre.
como el espacio de los generadores del cono nill De esta manera, el modelo plano de geometría conforme , es la esfera
y el estabilizador de un punto
Una clasificación de todos los operadores diferenciales invariantes lineales conformes de la esfera es conocida (Eastwood y Rice, 1987).