Orientabilidad
En este caso, hay dos definiciones posibles, y una elección entre ellas es una orientación del espacio.
Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de homología, mientras que para variedades diferenciables hay más estructuras presentes, lo que permite una formulación en términos de forma diferencial.
Una superficie S en un espacio euclídeo R3 es orientable si una figura bidimensional (por ejemplo, ) no se puede mover alrededor de la superficie y regresar a donde comenzó para que se vea como su propia imagen especular ().
Es decir, un bucle que gira en un sentido sobre la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin superponerse a sí mismo) en un bucle que gira en el sentido opuesto.
Para las superficies incrustadas en el espacio euclídeo, la orientación se especifica mediante la elección de una dirección normal n que varía continuamente en cada punto.
Si tal normal existe, siempre hay dos formas de seleccionarla: n o −n.
La mayoría de las superficies que se encuentran en el mundo físico son orientables.
Estos últimos elementos, tal como se visualizan en 3 dimensiones, todos tienen un solo lado.
Este enfoque se generaliza a cualquier variedad de orden n que tenga una triangulación.
Sin embargo, algunas variedades de orden 4 no tienen triangulación y, en general, para n > 4, algunas variedades de n tienen triangulaciones que no son equivalentes.
Más precisamente, si S es orientable, entonces H1(S) es un grupo abeliano libre, y si no, H1(S) = F + Z/2Z donde F es abeliano libre, y se genera el factor Z/2Z por la curva central en una banda de Möbius inmersa en S. Sea M una n-variedad topológica conexa.
Algunas de estas definiciones requieren que M tenga una estructura adicional, como ser diferenciable.
[2][3] Las definiciones más intuitivas requieren que M sea una variedad diferenciable.
Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición conserva la orientación.
En una variedad bidimensional, corresponde a una elección de sentido horario y antihorario.
La bola B es contráctil, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en el grado cero, y el espacio B \ O es una esfera (n − 1), por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en los grados n − 1 y 0.
Un reflejo de Rn a través del origen actúa por negación sobre
A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable.
y tomando las cartas orientadas como aquellas para las que α avanza hacia el generador fijo.
Por el contrario, un atlas orientado determina un generador de este tipo, ya que las orientaciones locales compatibles se pueden unir para dar un generador para el grupo de homología
En particular, si el primer grupo de cohomología con coeficientes Z/2 es cero, entonces la variedad es orientable.
sea isomorfo a Z. Supóngase que α es un generador de este grupo.
Existe una aplicación canónica π : O → M que envía una orientación local en p a p. Está claro que cada punto de M tiene precisamente dos preimágenes bajo π.
El colector O se denomina doble recubrimiento de orientación.
una carta de M que, cuando se restringe al interior, produce la orientación
El conjunto de todas las cartas que se pueden construir así forma un atlas orientado para ∂M.
Aquí se asume que M es suave, por lo que se puede elegir una orientación en el espacio tangente en un punto o usarse una homología singular para definir la orientación.
Estos conceptos juegan un importante papel en la estructura causal del espacio-tiempo.
[6] En el contexto de la relatividad general, una variedad espacio-tiempo es orientable en el espacio si, cada vez que dos observadores diestros inician un recorrido en naves espaciales partiendo del mismo punto del espacio-tiempo y luego se encuentran de nuevo en otro punto, siguen siendo diestros uno con respecto al otro.
De manera similar, una orientación temporal es una sección del haz asociado
