Grupo cíclico

El isomorfismo se puede hallar fácilmente haciendo ga→ a. Contrariamente a lo que sugiere la palabra "cíclico", es posible generar infinitos elementos y no formar nunca un ciclo real: es decir, que cada gn sea distinto.

Por lo anterior, los grupos cíclicos son de algún modo los más simples, y han sido completamente clasificados.

Sin embargo, estas dos notaciones no son tan populares como Zn.

Dado un grupo cíclico G = de orden n (donde n puede valer infinito), y dados a, b ∈ G, se tiene: Los generadores de Zn son los enteros que son primos relativos con n. El número de tales generadores se designa por φ(n), donde φ designa la función φ de Euler.

Cualquier otro cuerpo con n elementos es isomorfo al ya descrito.

Todos los grupos cocientes de Z son finitos, salvo por la excepción trivial Z/{0}.

Dado un grupo cíclico C de orden n, con generador g, el tamaño del subgrupo generado por gk para un entero k será el mínimo entero positivo m tal que mk es múltiplo de n; fácilmente se puede demostrar que m = n/mcd(k,n).