Subgrupo
En álgebra, dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación *.
El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.
El grupo G a veces se denota por el par ordenado (G, *), generalmente para acentuar la operación * cuando G lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo.
En lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.
si y solo si:[3] Las dos últimas condiciones pueden expresarse de forma equivalente en una sola:[4] En el caso de que H sea finito, es suficiente que H sea cerrado bajo producto, puesto que la existencia de los inversos se sigue automáticamente en ese caso.
[5] La operación binaria es siempre asociativa en H puesto que es asociativa para todas las ternas de elementos de G, y todos los elementos de H pertenecen a G.[6] Dados un subgrupo H de G y algún
Las clases izquierdas son las clases de equivalencia que corresponden a la relación de equivalencia a ~ b ssi b = ah para algún h en H. Puesto que a es inversible, la función
Por tanto, cada clase lateral de H contiene tantos elementos como el subgrupo H; el mismo H es la clase lateral representada por eH.
Las clases laterales izquierdas forman una partición de G: todo elemento de G está contenido en exactamente una y solo una clase izquierda de H, o dicho de otro modo, G es la unión disjunta de las clases laterales izquierdas de H.[9] Las clases laterales derechas se definen análogamente:
Son también las clases de equivalencia correspondientes a una relación de equivalencia análoga:
El número de clases izquierdas y clases derechas de H es el mismo, se llama el índice de H en G y se denota por [G:H].
[10] Dados un subgrupo H de G, si aH = Ha para cada a en G, es decir, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, entonces H es un subgrupo normal.
En un grupo abeliano todo subgrupo es normal.
Los subgrupos normales son claves en los homomorfismos de grupos y permiten definir grupos cociente.
Todo grupo G contiene al menos dos subgrupo normales: el subgrupo trivial y el propio G; si no tiene ningún otro subgrupo normal entonces G es un grupo simple.
