Paradoja de San Petersburgo

Después de esto Nicolaus estuvo aún un tiempo intentando encontrar la solución al problema que él mismo se había planteado, pero finalmente en el año 1715 optó por consultar a su primo Daniel, al que reconocía una capacidad matemática superior a la suya.

A continuación este realiza lanzamientos sucesivos de una moneda hasta que salga cruz por primera vez.

El jugador racional debe aceptar una propuesta de juego si la ganancia esperada (la media del dinero que obtendría participando muchas veces en ese juego) es mayor que la suma exigida para entrar en el juego, y rechazar la propuesta cuando la ganancia esperada es menor que esa suma.

Por eso si la suma exigida para participar en el juego anterior es menor de 4 euros el jugador racional debe apostar (la apuesta es favorable), si es mayor de 4 euros no debe apostar (la apuesta es desfavorable), y si es exactamente 4 euros puede o no apostar (la apuesta es equitativa).

Desde su formulación, la paradoja de San Petersburgo ha asistido a muchos intentos de solución, unos centrándose más en la decisión del jugador y otros más en la propia estructura del juego.

Además de ese hecho básico, hay autores que defienden que muchas personas no están dispuestas a hacer apuestas elevadas porque tienen aversión al riesgo.

Otros intentos de solución se centran en la propia estructura del juego, argumentando por una parte que en la práctica habría jugadas que nunca se llevarían a cabo, por ejemplo que no es concebible una jugada donde no aparezca la primera cruz hasta el 300 lanzamiento, y por otra que para que haya un juego de apuestas fiable se necesita una banca con dinero suficiente para cubrir el premio máximo, y en este mundo no hay bancas capaces de afrontar el pago de una baza donde saliese la cruz por primera vez en un número tan pequeño como el 50 lanzamiento (premio de 250 > 300 billones de euros).

La idea es descomponer el juego de la paradoja en un conjunto de juegos ordenados SP, tal que SP1: al lanzar una moneda el jugador gana 21 monedas si sale cruz, y gana 0 si no sale cruz; se acaba el juego (esperanza matemática: 1/2 • 2 = 1).

Si no, se lanza otra vez y gana 22 monedas si sale cruz y 0 si no sale cruz; se acaba el juego (EM: 1/2 • 2 + 1/4 • 4 = 1 + 1 = 2).

SPn: el jugador lanza una moneda todas las veces que sean necesarias para que salga cruz por primera vez, hasta un máximo de n lanzamientos.

Se cuenta el número de lanzamientos, j, que se han necesitado para que salga cruz y el jugador gana 2j monedas; si no ha salido ninguna cruz el jugador gana 0 monedas (EM: 1/2 • 21 + 1/22 • 22 + 1/23 • 23 +.....+ 1/2j • 2j +......1/2n • 2n = 1 + 1 + 1 +........= n).

Sólo a partir de un cierto n variable para cada jugador (15, 20, 30…) caben ya las consideraciones anteriores, la utilidad decreciente del dinero, la aversión al riesgo, y la sospecha de que la banca no cuenta con fondos suficientes para afrontar el pago del premio máximo.

En este juego no hay ninguna limitación para el número de lanzamientos hasta que salga una cruz, y se corresponde por tanto a un juego SP con número de orden infinito.