La partícula en un anillo es un ejemplo sencillo de sistema cuántico con propiedades interesantes.
Suponemos una partícula que se mueve libremente a lo largo de un anillo.
Utilizando la forma funcional de la energía (clásica) en términos del momento lineal:
donde E es el valor de la energía del estado, que por ser estacionario estará perfectamente bien definida.
Para ello es conveniente transformar la expresión del hamiltoniano de coordenadas cartesianas,
Para el caso de una partícula en un anillo R es una constante y, por tanto, para obtener las funciones propias del Hamiltoniano,
Como candidatos canónicos para representar los estados estacionarios hay que escoger funciones propias del hamiltoniano que, por tanto, deben ser solución de la ecuación (1).
Cuando esto sucede se dice que dicho nivel de energía presenta degeneración (un término poco explicativo que se introdujo por motivos históricos relacionados con el átomo de hidrógeno, pero que ha sido mantenido a pesar de ser poco explicativo).
Con el fin de que además sean funciones propias del operador momento angular elegiremos estas últimas:
La solución general correspondiente a la función (o vector) de estado se obtiene, por tanto, como una combinación lineal de ambas funciones:
Para simplificar, definimos una constante matemática n que vamos a llamar simplemente número cuántico principal como:
En este caso, la función de onda tiene que ser continua en todos sus puntos y, por tanto, al dar una vuelta completa en el anillo tiene que tener el mismo valor.
Así se tiene que cumplir la siguiente condición de periodicidad:
Como vamos a ver la condición de periodicidad no se da para cualquier valor del número cuántico n. Como estamos interesados solo en los estados estacionarios que cumplen la condición de periodicidad y, por tanto, representan adecuadamente las restricciones físicas del problema, debemos examinar qué valores de n satisfacen la condición de periodicidad.
De la última ecuación concluimos que solo los valores enteros de n satisfacen la ecuación, es decir, que los posibles valores del número cuántico principal son n = 0, 1, 2, 3... y n = -1, -2, -3... Es interesante notar que como consecuencia de exigir la condición de periodicidad la energía del sistema está cuantizada:
El número cuántico n puede tomar, en este caso, el valor 0, debido a que no se anula la función de onda en el espacio.
Por otra parte para dos números cuánticos que sean iguales y opuestos, obtenemos la misma energía (al depender la energía de n al cuadrado).
Sin embargo, esos estados de misma energía no son del todo idénticos como veremos, puesto que sobre ellos podemos medir otras magnitudes físicas (observables) diferentes de la energía y podemos ver que arrojan valores diferentes, lo cual significa que existe un procedimiento físico para distinguir entre estados "degenerados" de la misma energía.
A continuación calcularemos el valor del momento angular de la partícula, es decir, aplicaremos el operador
A partir de las expresiones clásicas podemos obtener el operador correspondiente:
y comprobaremos si se cumple la ecuación de autovalores
, podemos encontrar un conjunto de funciones propias común a ambos operadores.
definidas anteriormente en la ecuación (2), si son funciones propias del momento angular.
se comprueba que existe un subconjunto de funciones propias común:
Con esta magnitud se pueden distinguir los dos estados degenerados en la energía debido a que tienen distinto valor de momento angular.
Para ello tendremos en cuenta que la probabilidad de encontrar la partícula en el anillo es la unidad:
Puede comprobarse que cualquier otro estado estacionario del sistema tiene la forma:
Este estado tiene la propiedad interesante de que a pesar de que tiene una energía bien definida, su momento angular Lz no está bien definido, sino que una medida de esa magnitud con una probabilidad p1 da el valor +nh/2π y con una probabilidad p2 da el valor -nh/2π, cumpliéndose además:
En química orgánica, los hidrocarburos aromáticos como el benceno y otros, contienen estructuras en forma de anillo formado por cinco o seis átomos de carbono.
Los experimentos muestran que estos compuestos químicos son extraordinariamente estables, debido a que de acuerdo con la discusión anterior los electrones se comportan como si estuvieran girando en ambas direcciones y están altamente deslocalizados.