Pila de arena
Considere una pila de arena o un reloj de arena apenas girado, si la pendiente es muy alta, la pila está lejos de encontrarse en equilibrio y colapsará hasta que la pendiente promedio llegue a un valor crítico en el cual el sistema es apenas estable bajo perturbaciones pequeñas.
Desde el planteamiento del modelo por Bak, Tang y Wiesenfeld como ejemplo de autoordenamiento crítico en un sistema dinámico el modelo ha sido estudiado en rejillas (grids) en
El modelo se establece con condiciones iniciales arbitrarias de forma que
en al menos un punto; donde K es un número natural que se llamará valor crítico.
’ son equivalentes si y solo si al estabilizarse resultan en la misma configuración.
Su evolución está caracterizado por correlaciones que siguen una ley de potencias (power law) en espacio y tiempo.
En 1987, Bak, Tang y Wiesenfeld (BTW) introdujeron un modelo para ilustrar lo que llamaron autoorganización crítica y dar una explicación al fenómeno del ruido 1/f, un fenómeno recurrente en física.
Mostrando que sistemas con dinámicas simples pueden llevar al surgimiento de estructuras complejas que resultan en estados estacionarios con propiedades particulares en sus puntos críticos.
Dhar y Majumdar estudiaron el modelo en el Bethe lattice (árbol binario sin raíz) obteniendo importantes resultados en cuanto a tamaños y distribuciones de avalanchas.
Desde la primera formulación del modelo se han planteado numerosas variaciones al planteamiento original del ASM cambiando reglas, dependencias, dimensiones, etcétera; resultando en un estudio de comportamientos de autoordenamiento crítico y de la naturaleza fuertemente no-local del modelo (agregar un grano en un punto particular puede influenciar la altura de puntos muy lejanos).
El concepto de autoordenamiento crítico se ha convertido en algo muy popular y es utilizado en diversas áreas incluyendo las Ciencias Naturales como la geología y la biología.
Una serie de desplomes resultantes en una configuración estable se conoce como avalancha.
debe satisfacer las siguientes condiciones: Sin pérdida de generalidad se puede asumir que
Considerando una configuración inestable en la cual dos vértices, a y b, son críticos, es decir que
Haciendo un procedimiento inductivo es fácil observar que esta conmutatividad existe para un número finito de desplomes.
inestable inicialmente y luego añadir un grano al vértice
, el resultado será igual que añadir un grano de arena en
es la configuración resultante de poner un nuevo grano en el vértice
Las configuraciones recurrentes son aquellas para las cuales existe un entero positivo
, tal que: Se denota el conjunto de todas las configuraciones recurrentes por
Estas tienen una probabilidad de ocurrir igual a cero.
es obtenido borrando de la matriz Laplaciana Δ la fila y la columna correspondientes al sumidero.
Observe que al desplomar uno de los vértices no sumidero
para el número de árboles de expansión del grafo bipartito se convierte en : El replanteamiento del modelo por Dhar permite extender arbitrariamente el ASM a dimensiones superiores a
definida como: La configuración estable τ asociada a la pila está dada en términos de σ y
Es decir que la pila se estabiliza en la mínima cantidad posible de desplomes.
Es más, las pilas de arena son también localmente perezosas ya que cada vértice hace la mínima cantidad de trabajo necesario para llegar a la estabilidad.
La segunda característica aun inexplicada es su reducción dimensional: cortes d-dimensionales de pilas en
Existe un modelo que se basa en el ASM, pero no restringe la cantidad de granos en cada vértice a un valor entero, en cambio, una cantidad continua de masa puede ser subdividida arbitrariamente durante los desplomes.
completamente ocupada y casi circular, bordeada por una región parcialmente cubierta por arena.
