Plano de Minkowski
(en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídea
{\displaystyle \{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}}
Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).
se llama plano de Minkowski real clásico.
no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo si
Se define entonces: Ambas son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.
De la definición anterior, se deduce que: Lema: Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada.
Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).
, se define: Una clase de equivalencia
se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).
se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas: También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente): Las primeras consecuencias de los axiomas son: LemaPara un plano de Minkowski
se cumple lo siguiente: • Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.
• Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.
• Dos puntos pueden estar conectados mediante un ciclo si y sólo si no son paralelos.
De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.
se define la estructura local Para el plano clásico de Minkowski,
Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.
es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier punto
es un plano afín El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto
de tres elementos: En cuanto a los puntos paralelos, se tiene que: De ahí que
Para planos de Minkowski finitos, se obtiene de C1′ y C2′: LemaSea
un plano de Minkowski finito, por ejemplo
se tiene que: Esto da lugar a la siguiente definición: Consideraciones combinatorias simples permiten deducir que: LemaPara un plano de Minkowski finito
se cumple que: • Cualquier residuo (plano afín) tiene orden
Los ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazar
arbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowski
se denomina plano miqueliano de Minkowski.
Un resultado sorprendente es que: Teorema (Heise): Observación: Una proyección estereográfica adecuada muestra que
Observación: Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación).
Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).
