También aparecen en muchas aplicaciones, como en la fórmula de Faà di Bruno.
Los polinomios de Bell exponenciales parciales o incompletos son una matriz triangular de polinomios dados por donde la suma se toma sobre todas las secuencias j1, j2, j3, ..., jn−k+1 de números enteros no negativos tales que estas dos condiciones son satisfechas: La suma se llama n-ésimo polinomio de Bell exponencial completo.
Del mismo modo, un polinomio de Bell parcial ordinario, en contraste con el polinomio de Bell exponencial habitual definido anteriormente, viene dado por donde la suma se ejecuta en todas las secuencias j1, j2, j3, ..., jn−k+1 de enteros no negativos tales que Los polinomios de Bell ordinarios se pueden expresar en términos de polinomios de Bell exponenciales: En general, el término polinomio de Bell se refiere al polinomio de Bell exponencial, a menos que se establezca explícitamente lo contrario.
El polinomio de Bell exponencial codifica la información relacionada con las formas en que se puede particionar un conjunto.
Por ejemplo, si se considera un conjunto {A, B, C}, se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos que no se superponen, que también se conoce como partes o bloques, de tres maneras diferentes: Por lo tanto, se puede codificar la información con respecto a estas particiones como Aquí, los subíndices de B3,2 indican que se está considerando la partición del conjunto con 3 elementos en 2 bloques.
Entonces aquí, x2 indica la presencia de un bloque con dos elementos.
Del mismo modo, x1 indica la presencia de un bloque con un solo elemento.
El exponente de xij indica que hay j bloques de tamaño i en una sola partición.
Aquí, dado que tanto x1 y x2 tienen el exponente 1, esto indica que solo hay un bloque de ese tipo en una partición dada.
El coeficiente del monomio indica cuántas particiones hay.
En este caso, hay 3 particiones de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques, donde en cada partición los elementos se dividen en dos bloques de tamaños 1 y 2.
Como cualquier conjunto se puede dividir en un solo bloque de una sola manera, la interpretación anterior significa que Bn,1 = xn.
Como un ejemplo más complicado, considérese Esto indica que si un conjunto con 6 elementos se divide en 2 bloques, entonces se pueden tener 6 particiones con bloques de tamaño 1 y 5, 15 particiones con bloques de tamaño 4 y 2 y 10 particiones con 2 bloques de tamaño 3.
Sin embargo, el entero 6 se puede dividir en dos partes como 5 + 1, 4 + 2 y 3 + 3.
Además, la suma de todos los coeficientes del polinomio de Bell completo Bn dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede ser particionado en subconjuntos no superpuestos, que es el mismo que el número de Bell.
En general, si el número entero n es particionado en una suma en la que "1" aparece j1 veces, "2" aparece j2 veces, y así sucesivamente, luego el número de particiones de un conjunto de tamaño n que colapsan en esa partición del número entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles es el coeficiente correspondiente en el polinomio.
El polinomio de Bell exponencial completo se define mediante
Los polinomios de Bell completos pueden definirse recurrentemente con el valor inicial
de Touchard se puede expresar como el valor del polinomio de Bell completo en todos los argumentos que son x: Para las secuencias xn, yn, n = 1, 2, ..., se define un tipo de convolución por: Téngase en cuenta que los límites de la suma son 1 y n - 1, no 0 y n. Sea
el n-ésimo término de la secuencia Entonces Por ejemplo, calcúlese
Considérese la integral de la forma donde (a, b) es un intervalo real (finito o infinito), λ es un parámetro positivo grande y las funciones f y g son continuas.
Se asume que cuando x → a+, con α > 0, Re(β) > 0; y que la expansión de f puede diferenciarse a largo plazo.
y el polinomio suma de potencias simétrico
En otras palabras, el n-ésimo momento es el n-ésimo polinomio completo de Bell evaluado en los primeros n cumulantes.