Son polinomios en función de una variable que, cuando la variable coincide con el número de sumandos, calculan la suma de potencias con bases en progresión aritmética y exponente igual al número anterior a su grado.
El problema es por tanto encontrar polinomios tales que: con variable
y parámetros
p , h , d
{\displaystyle p,h,d}
del plinomio
( h , d )
{\displaystyle S_{n}^{p}(h,d)}
enteros no negativos,
primer término de una progresión aritmética y
diferencia de la misma progresión, siendo
cualquier número real o complejo
son los polinomios identificados por la fórmula de Faulhaber presentada póstumamente por Jacob Bernoulli en 1713[1];
son los polinomios diferenciándose de los anteriores sólo en el signo de un monomio de grado p[a];
son los polinomios por sumas de potencias de números impares sucesivos.
entero positivo, el caso general se resuelve mediante la siguiente fórmula: con
1 ≤ r ≤ m
1 ≤ c ≤ m
(columna) y
(orden de la matriz) son enteros [2].
La fórmula en el caso particular
se convierte en : Y en el caso especial
, calcula la suma de los
primeros números impares consecutivos Calculando la matriz T(h,d), cuyos elementos siguen el teorema del binomio con los valores asignados, es decir, T(1,2), y hallando la matriz inversa de la matriz triangular inferior A obtenida a partir del triángulo de Pascal privado del último elemento de cada fila (matriz formada a partir del números de Bernoulli, mostrada en rojo), tenemos : multiplicando las filas por las columnas de las dos matrices se obtiene y por tanto:
Por último, si interesan las sumas de los tres primeros sumandos
La siguiente fórmula resuelve el problema de forma implícita utilizando polinomios de Bernoulli:
( h , d ) =
h d
h d
{\displaystyle S_{n}^{p}(h,d)={\frac {d^{p}}{p+1}}(B_{p+1}(n+{\frac {h}{d}})-B_{p+1}({\frac {h}{d}}))~~}