Problema de Weber

Kuhn y Kuenne[1]​ encontraron una solución iterativa para el problema general de Fermat en 1962 y, en 1972, Tellier[2]​ encontró una solución numérica directa para el problema del triángulo de Fermat, que es trigonométrica.

Primero fue formulado y resuelto geométricamente en el caso del triángulo por Thomas Simpson en 1750.

Fue formulado y resuelto por primera vez, en el caso del triángulo, en 1985 por Luc-Normand Tellier.

Torricelli dedujo de esa conclusión que: 1– si cualquier triángulo ABD, cuyo ángulo ∠ADB es igual a 120°, genera un cuadrilátero ABDE convexo inscrito en una circunferencia, el ∠ABE un ángulo del triángulo ABE debe ser igual a (180° − 120°)= 60°; 2– una forma de determinar el conjunto de ubicaciones de D para las cuales el ángulo ∠ADB es igual a 120° es dibujar un triángulo ABE equilátero (porque cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60°), donde E está ubicado fuera del triángulo ABC, y se dibuja un círculo alrededor de ese triángulo; entonces todos los puntos D’ de la circunferencia de ese círculo que están dentro del círculo ABC son tales que el ángulo ∠AD’B es igual a 120°; 3– el mismo razonamiento se puede hacer con respecto a los triángulos ACD y BCD; 4– esto lleva a trazar otros dos triángulos equiláteros ACF y BCG, donde F y G están ubicados fuera del triángulo ABC, así como otros dos círculos alrededor de estos triángulos equiláteros, y determinar la ubicación donde los tres círculos se cortan; en esa ubicación, los ángulos entre las rectas AD, BD y CD son necesariamente iguales a 120°, lo que prueba que es la ubicación óptima.

La solución es tal que: 1– en el triángulo construido ABE, el lado AB es proporcional a la fuerza de atracción Cw que apunta hacia C, el lado AE es proporcional a la fuerza de atracción Bw que apunta hacia B, y el lado BE es proporcional a la fuerza de atracción Aw que apunta hacia A; 2– en el triángulo construido BCG, el lado BC es proporcional a la fuerza de atracción Aw que apunta hacia A, el lado BG es proporcional a la fuerza de atracción Bw que apunta hacia B, y el lado CG es proporcional a la fuerza de atracción Cw que apunta hacia C; 3– el punto óptimo D está situado en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos ABE y BCG.

Esa tercera circunferencia cruza a las dos anteriores en el mismo punto D. Existe una solución geométrica para el problema del triángulo de atracción-repulsión.

Esta solución es tal que: 1– en el triángulo construido RA2H, que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación A1A2R, el lado RA2 es proporcional a la fuerza de atracción A1w que apunta hacia A1, el lado derecho es proporcional a la fuerza de atracción A2w que apunta hacia A2, y el lado A2H es proporcional a la fuerza repulsiva Rw empujando desde el punto R; 2– en el triángulo construido RA1I, que se superpone parcialmente al triángulo de ubicación A1A2R, el lado RA1 es proporcional a la fuerza de atracción A2w que apunta hacia A2, el lado RI es proporcional a la fuerza de atracción A1w que apunta hacia A1, y el lado A1I es proporcional a la fuerza repulsiva Rw empujando desde el punto R; 3– el punto óptimo D está situado en la intersección de las dos circunferencias dibujadas alrededor de los triángulos construidos RA2H y RA1I.

En el caso de no coincidencia, se observa que las seis ecuaciones siguen siendo válidas.

Para resolver el problema, se debe agregar a las seis ecuaciones simultáneas un séptimo requisito, que establece que no debe haber un agujero triangular en el medio del triángulo de ubicación.

Kuhn y Kuenne (1962)[1]​ sugirieron un algoritmo basado en mínimos cuadrados reponderados iterativamente generalizando la mediana geométrica para el problema sin pesos.

Como única solución óptima a un problema de mínimos cuadrados ponderados, cada aproximación sucesiva se puede encontrar como un promedio ponderado: Para el problema de atracción-repulsión se debe recurrir al algoritmo propuesto por Chen, Hansen, Jaumard y Tuy (1992).

Ottaviano y Thisse (2005)[8]​ lo vieron como un preludio de la Nueva Geografía Económica (NEG) que se desarrolló en la década de 1990, por la que Paul Krugman recibió un Nobel Conmemorativo en Ciencias Económicas en 2008.