Proyección afín
En geometría afín, una proyección afín es una aplicación de los puntos de un espacio sobre un subespacio, en el que un punto y su imagen están en una dirección fija llamada dirección de la proyección.
Así, la sombra proyectada por el sol sobre una superficie plana de los objetos en el espacio es, en primera aproximación,[1] una proyección del espacio sobre un plano según la dirección de los rayos del sol.
Se utilizan en algunas representaciones bidimensionales de objetos tridimensionales, y entonces se habla de perspectiva axonométrica.
En un espacio euclídeo, cuando la dirección de la proyección es ortogonal al subespacio sobre el que se proyecta, se habla de una proyección ortogonal.
Cuando la dirección no es fija pero hay un punto fijo de modo que un punto y su imagen siempre están alineados con el punto fijo, no es una proyección afín sino una proyección central.
En geometría plana, se considera una recta D del plano y una dirección Δ no paralela a D. La proyección sobre la recta D según la dirección Δ transforma el punto A en un punto A' tal que: Al no ser paralelas las dos rectas anteriores, se encuentran en un punto único.
Esto significa que preserva los baricentros: si A y B son dos puntos y si a y b son dos números reales tales que a + ' 'b es distinto de cero y si G es el baricentro de los puntos A y B a los que se les asignan los coeficientes a y b, la proyección del punto G sigue siendo el baricentro de las proyecciones de A y B a las que se les asignan los mismos coeficientes a y b.
En particular, si A, B y C son tres puntos alineados y si A', B' y C' son sus puntos proyectados, entonces la proyección mantiene las siguientes relcaicones algebraicas: Esta propiedad es comparable con el teorema de Tales.
: y si k es un escalar, entonces Esta aplicación lineal es un operador de proyección.
Las líneas rectas D y Δ se cruzan en O.
Entonces: es la ecuación de D. Sea el punto A con coordenadas (xA , yA ) y su proyección A' con coordenadas (xA' , yA' ).
no es colineal con D), y por lo tanto para cualquier En el espacio, considérese un plano Π y una recta Δ no paralela a Π.
La proyección sobre el plano Π según la dirección Δ transforma el punto A en un punto A' tal que: El plano y la recta no son paralelos y se cortan en un único punto, lo que garantiza la existencia y unicidad de A' cuando se da un punto A.
Si Δ es perpendicular a Π, entonces la proyección se llama ortogonal.
Posee las mismas propiedades que el caso de proyección anterior: si A pertenece al plano, A es su propia proyección.
La proyección es una transformación afín, que preserva los baricentros y el paralelismo.
Como para cualquier aplicación afín, el teorema de Tales se sigue verificando: si A, B y C son tres puntos alineados y si A', B' y C' son sus puntos proyectados, entonces es decir, existe un escalar
que satisface ambas condiciones De hecho, la aplicación afín está asociada con una aplicación lineal sobre los vectores espaciales, que envía
Sea el punto A con coordenadas (xA , yA , zA ) y sea A' su proyección con coordenadas (xA' , yA' , zA' ).
Se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas xA', yA', zA' y k, de manera que entonces se obtiene: En el caso de una proyección ortogonal y si el sistema de coordenadas es ortonormal, es posible elegir xu = a, yu = b y zu = c, de forma que Si se decide arbitrariamente que Π contiene el origen (d = 0) y que a² + b² + c² = 1, entonces se tiene que En el caso de una proyección isométrica, se tiene que |a| = |b| = |c| = 1/√3.
Por ejemplo, si se eligen los tres valores positivos, se tiene que Con las mismas notaciones anteriores, se puede definir la proyección según Δ paralelamente a Π: transforma el punto A en un punto A' tal que Como antes, el hecho de que la recta y el plano no sean paralelos permite decir que se cortan en un punto y garantiza la existencia y unicidad de A' cuando se da un punto A.
Si Δ es perpendicular a Π, entonces se dice que la proyección es ortogonal.
Siempre se trata de una transformación afín, por lo que la aplicación lineal asociada es una proyección vectorial, por lo que tiene las propiedades indicadas anteriormente.
Para un punto en el espacio A, se denominan: Entonces : y si A tiene coordenadas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (O, u1, u2, u3), entonces En cualquier espacio afín, se considera un subespacio afín
es una correspondencia afín, cuya aplicación lineal asociada es la proyección
, y cuyo conjunto de puntos fijos es
De forma recíproca, cualquier correspondencia afín cuya aplicación lineal asociada sea una proyección y que tenga puntos fijos es una proyección afín.
