En matemáticas, la prueba M de Weierstrass o criterio mayorante de Weierstrass es un criterio para comprobar la convergencia uniforme de una serie de funciones de variable real o compleja.
Prueba M de WeierstrassSea
un conjunto y
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
{\displaystyle f_{n}:A\to \mathbb {K} }
una sucesión de funciones.
tal que
f
{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}\,\forall x\in A}
y la serie
converge, entonces la serie
f
converge uniformemente en
Recordemos que para probar que la serie
f
converge uniformemente a
tenemos que probar que la sucesión de sumas parciales
{\displaystyle \{S_{n}\}=\{\sum _{i=1}^{n}f_{i}\}}
(que en este caso es una sucesión de funciones) converge uniformemente a
Para esto podemos ver que la sucesión
{\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x)|:x\in A\}}
converge a
n = m + 1
{\displaystyle \rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x):x\in A\}\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}\rightarrow 0}
converge uniformemente a
Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se mantiene si el codominio de las funciones
es cualquier espacio de Banach, en cuyo caso la afirmación
es la norma definida en el espacio de Banach.