Referencia proyectiva
En este caso, se dice que
-tuplas de escalares salvo proporcionalidad (multiplicación por un escalar no nulo).
En esta sección construimos estas coordenadas a partir de una referencia proyectiva
Denotamos distinto el último punto porque tendrá un papel diferente a los demás.
Llamaremos vértices de la referencia a los puntos
Para definir las coordenadas de los puntos del espacio nos hará falta definir una base del espacio vectorial
Para ello, diremos que un conjunto ordenado de vectores
es una base adaptada a la referencia si se cumple que
Un primer resultado es que toda referencia proyectiva admite una base adaptada.
son linealmente independientes y, al ser tantos como
sobre un elemento significa que no está en la lista.
puntos de la referencia proyectiva que no son proyectivamente independientes, lo que es una contradicción con su definición.
Para ver la unicidad, tomemos dos bases adaptadas
Observemos en primer lugar que al ser bases adaptadas, se satisface, para
Queremos ver que todos estos
definidas salvo producto por escalar no nulo (esto hará falta para que estén bien definidas) si y sólo si
De hecho, la demostración anterior también es cierta de derecha a izquierda, demostrando que puntos con iguales coordenadas son iguales (o, equivalentemente, que puntos distintos tienen coordenadas distintas).
Para la independencia respecto de la base adaptada escogida, ya hemos visto que si
Si no hubiera punto unidad y definiéramos una referencia proyectiva como
puntos proyectivamente independientes y una base adaptada a
, las coordenadas homogéneas no estarían bien definidas.
fuera base adaptada, también lo sería, por ejemplo,
Si en la primera base el punto tuviera coordenadas
que son, en general, coordenadas distintas aunque ambas bases fueran adaptadas de partida.
Intuitivamente, añadir el punto unidad hace que los vectores de la base no se puedan "estirar" de uno en uno sino todos a la vez, de forma que las coordenadas no pueden variar arbitrariamente sino sólo por un factor
La mayor importancia de las coordenadas homogéneas es que permiten trabajar con cualquier espacio proyectivo
) pues existe una biyección entre ambos (consistente en tomar coordenadas homogéneas en una referencia proyectiva).
Es decir, cualquier espacio proyectivo se comporta esencialmente igual que
se define a partir de la base canónica
Es fácil comprobar por definición que estos puntos determinan, en efecto, una referencia proyectiva de
