Referencia proyectiva

En este caso, se dice que

-tuplas de escalares salvo proporcionalidad (multiplicación por un escalar no nulo).

En esta sección construimos estas coordenadas a partir de una referencia proyectiva

Denotamos distinto el último punto porque tendrá un papel diferente a los demás.

Llamaremos vértices de la referencia a los puntos

Para definir las coordenadas de los puntos del espacio nos hará falta definir una base del espacio vectorial

Para ello, diremos que un conjunto ordenado de vectores

es una base adaptada a la referencia si se cumple que

Un primer resultado es que toda referencia proyectiva admite una base adaptada.

son linealmente independientes y, al ser tantos como

sobre un elemento significa que no está en la lista.

puntos de la referencia proyectiva que no son proyectivamente independientes, lo que es una contradicción con su definición.

Para ver la unicidad, tomemos dos bases adaptadas

Observemos en primer lugar que al ser bases adaptadas, se satisface, para

Queremos ver que todos estos

definidas salvo producto por escalar no nulo (esto hará falta para que estén bien definidas) si y sólo si

De hecho, la demostración anterior también es cierta de derecha a izquierda, demostrando que puntos con iguales coordenadas son iguales (o, equivalentemente, que puntos distintos tienen coordenadas distintas).

Para la independencia respecto de la base adaptada escogida, ya hemos visto que si

Si no hubiera punto unidad y definiéramos una referencia proyectiva como

puntos proyectivamente independientes y una base adaptada a

, las coordenadas homogéneas no estarían bien definidas.

fuera base adaptada, también lo sería, por ejemplo,

Si en la primera base el punto tuviera coordenadas

que son, en general, coordenadas distintas aunque ambas bases fueran adaptadas de partida.

Intuitivamente, añadir el punto unidad hace que los vectores de la base no se puedan "estirar" de uno en uno sino todos a la vez, de forma que las coordenadas no pueden variar arbitrariamente sino sólo por un factor

La mayor importancia de las coordenadas homogéneas es que permiten trabajar con cualquier espacio proyectivo

) pues existe una biyección entre ambos (consistente en tomar coordenadas homogéneas en una referencia proyectiva).

Es decir, cualquier espacio proyectivo se comporta esencialmente igual que

se define a partir de la base canónica

Es fácil comprobar por definición que estos puntos determinan, en efecto, una referencia proyectiva de

En un plano proyectivo, cuatro puntos definen una referencia proyectiva.