Regla de Pascal

En matemáticas, la regla de Pascal es una identidad combinatórica sobre los coeficientes binomiales.

La regla dice que para cada número natural n se tiene que donde

n k

es un coeficiente binomial.

Esto también puede ser comúnmente escrito como La regla de Pascal tiene un significado combinacional intuitivo, que se expresa claramente en esta prueba de conteo.

[1]​ Demostración: Recordemos que

{\displaystyle {n \choose k}}

es igual al número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos.

Supongamos que un elemento en particular es etiquetado como X en un conjunto con n elementos.

Para construir un subconjunto de k elementos que contenga X, cogemos X y k-1 elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto.

de estos subconjuntos.

Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X, cogemos k elementos de los n-1 elementos restantes del conjunto.

de estos subconjuntos.

Cada subconjunto de k elementos puede contener X o no.

El número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X,

Alternativamente, la derivación algebraica del caso binomial es la siguiente:

{\frac {n}{k!(n-k)!

}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!

}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}

La regla de Pascal puede generalizarse a coeficientes multinomiales.

[2]​ Para cualquier entero p tal que

{\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{*}}

{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}

es el coeficiente del término

en expansión de

{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}}

La derivación algebraica para este caso general es la siguiente.

Sea p un entero tal que

{\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{*}}

}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}