Dado que la derivación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también pueden ser derivados usando esta regla.
, y puede ser obtenida mediante la aplicación del teorema fundamental del cálculo a la regla de potencias para la derivación.
Por lo tanto, es preferible utilizar una definición funcional, en la cual se suele expresar
donde: Por lo tanto, al aplicar la regla de la cadena a la anterior expresión, se obtiene: Cuando
Esto, necesariamente conduce al mismo resultado.
Además, las potencias racionales de -1 con denominadores pares (en los términos inferiores) no son números reales, estas expresiones solo tienen valores reales para potencias racionales con denominadores impares (en los términos inferiores).
, el límite definitorio para la derivada es: que resulta 0 solo cuando
Para los demás valores de r, la expresión
, como se expresó anteriormente, o no es un número real, ya que el límite no existe como una derivada con valor real.
Para los dos casos que existen, los valores concuerdan con el valor de la regla de potencia existente en 0, por lo que no se debe hacer ninguna excepción.
no tiene límite en el punto (0,0), ya que es una expresión indeterminada.
un entero positivo diferente de cero y se requiere demostrar que: Cuando
, entonces: por lo que se cumple para este caso.
Supóngase que el enunciado se cumple para algún número entero positivo
y, haciendo la sustitución respectiva, obtenemos: Por lo tanto, por el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos
Entonces, mediante la definición de derivada y el teorema del binomio, se obtiene: Hagamos
y mediante la regla de la cadena, obtenemos: Por lo tanto,
es un número racional: La regla de la potencia para integrales fue demostrada primero en una forma geométrica por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri a principios del siglo XVII para potencias enteras, y durante la mitad de dicho siglo, para potencias racionales, por los matemáticos Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli, Gilles de Roberval, John Wallis, y Blaise Pascal, trabajando cada uno de manera independiente.
En retrospectiva, sin embargo, se considera el primer teorema general del cálculo en ser descubierto.
[4] Aunque ambos hombres afirmaron que sus reglas, demostradas sólo para cantidades racionales, funcionaban para todos las potencias reales, no buscaron una prueba de tal afirmación, ya que en esa época las aplicaciones de la teoría no se referían a tales funciones de potencias exóticas y las cuestiones de convergencia de las series infinitas seguían siendo ambiguas.
En 1647, el jesuita y matemático flamenco Grégoire de Saint-Vincent publicó su obra "Opus Geometricum Quadrature Circuli et Sectionum Coni" en la cual afirmó que era posible resolver el problema de la cuadratura del círculo mediante el hoy llamado "Teorema de Grégoire".
Al año siguiente, el sacerdote y erudito francés Marin Mersenne publicó un planfleto, en el cual criticó dicha obra y lanzó un reto al autor, consistente en que si se daban tres números racionales o irracionales cualesquiera y se conocían los logaritmos de dos de ellos, se hallara de manera geométrica el logaritmo del tercer número.
[5] A este reto, respondió el pupilo y después colega de Grégoire de Saint-Vincent, el belga Alfonso Antonio de Sarasa, que dicha cuestión no estaba bien formulada, pero que haría el intento de resolverla, cosa que logró en 1649 en la publicación de su obra "Solutio problematis a R. P. Marino Maersenne", en la cual se basó en el teorema formulado por su maestro, relacionando las áreas bajo una hipérbola con los logaritmos.
Sin embargo, aún no había una solución definitiva al problema, hasta que el matemático suizo Leonardo Euler, en una carta a su colega prusiano Christian Goldbach escrita en 1731, mencionó a la constante
y afirmó que el área bajo la hipérbola rectangular
que se halla entre 1 y dicha constante, es exactamente igual a uno.
Desde entonces, se considera que esta fórmula relaciona el cálculo integral con los logaritmos, con lo cual quedó resuelto, definitivamente, el reto planteado por Mersenne en 1648.
es un número complejo en un plano complejo de hendidura que excluye el punto de ramificación de 0 y cualquier corte de rama conectado a él, y usamos la definición multivalor convencional: entonces es fácil demostrar que, en cada rama del logaritmo complejo, el mismo argumento utilizado anteriormente produce un resultado similar: Además, si
Sin embargo, debido a la naturaleza multivaluada de funciones de potencia complejas para exponentes no enteros, se debe tener cuidado de especificar la rama del logaritmo complejo que se está utilizando.
Además, no importa qué rama se use, si