Gaspari nació en Gissi, en Abruzzo, la región que sería su principal base electoral durante toda su carrera.
Se graduaría en Derecho en la Universidad de Bolonia.
Gaspari fue elegido diputado del Parlamento italiano sin interrupción entre 1968 y 1992.
Era miembro del llamado Dorotei, una ala de la Democrazia Cristiana junto a Vincenzo Scotti, Arnaldo Forlani y Antonio Gava.
Después de ocupar diferentes posiciones como subsecretario en varios ministerios, se convirtió en ministro por primera vez en el segundo gobierno de Mariano Rumor (1968) y siguió ocupando carteras ministeriales con Emilio Colombo y Andreotti.