Su padre fue Enzio Cellini, quien era director escénico que trabajó con Arturo Toscanini.
Cellini marchó a los Estados Unidos en 1947, cuando se unió a la Metropolitan Opera y allí debutó dirigiendo Don Carlos, el 9 de abril de 1952, con Jussi Björling, Eleanor Steber y Regina Resnik en el elenco.
Fue "designado para dar a los jóvenes cantantes una oportunidad de ser oído en la ópera."
Estos jóvenes cantantes incluyeron Harry Theyard, Mignon Dunn, Norman Treigle, John Reardon, Audrey Schuh, André Turp, Chester Ludgin, John Macurdy, Stanley Kolk, Ara Berberian, Enrico di Giuseppe, Ticho Parly y Benjamin Rayson.
Durante la década que Cellini lideró la Ópera de Nueva Orleans, muchas estrellas nacionales e internacionales hicieron su estreno local con la compañía.