Resonancia de Laplace

Es decir, mientras el cuerpo que tiene una órbita más exterior completa una vuelta, el siguiente en distancia completa dos y el más interior cuatro.

La resonancia de Laplace se expresa mediante la siguiente ecuación:[1]​[2]​ donde

Asimismo, de la anterior deriva otra expresión:[2]​[3]​ donde

se le denomina ángulo o variable de resonancia y debe tener un valor fijo, lo que indica que dada una posición determinada de los tres cuerpos en un momento dado, dicha posición se debe repetir periódicamente.

:[2]​[4]​ Asimismo se cumple que la variable de resonancia es 180°:[2]​ [3]​ Lo cual quiere decir que si los satélites exteriores Europa y Ganímedes están en conjunción, es decir,

y, por conveniencia, iguales a cero, la longitud media del tercer satélite, Ío, será

Esto quiere decir que nunca se producirá una conjunción triple los satélites galileanos Ío, Europa y Ganímedes.

Sin embargo considerando las parejas de satélites Ío - Europa y Europa - Ganímedes, para las que se podría esperar una resonancia exacta 2:1 entre ellos, se comprueba que el resultado de la ecuación

Ese valor resulta ser la precesión del periastro,

, entonces, sustituyendo en las expresiones anteriores se puede comprobar que:[4]​ Esto quiere decir que las conjunciones entre Ío - Europa tienen lugar cuando Ío está en el periastro de su órbita mientras que Europa está en el apoastro de la suya.

Igualmente se definen para el par Europa-Ganímedes las siguientes expresiones de sus variables de resonancia:[4]​ E igualmente una solución particular para el movimiento de estos satélites implica: Sin embargo en este caso se comprueba que

Así, la distancia entre ambos satélites en su conjunto está parcialmente maximizada.

En cuanto a los satélites de Urano, Miranda, Ariel y Umbriel, la ecuación

En concreto se obtiene el valor:[2]​ Lo que significa que cuando se produce una conjunción entre Ariel y Umbriel, Miranda tiene una posición algo más retrasada respecto a la conjunción anterior, llegando a producirse una conjunción triple cada 12,5 años, un periodo muy largo teniendo en cuenta que los periodos orbitales de estos satélites se miden en unos pocos días.

Imagen animada del movimiento de los satélites galileanos Ío, Europa y Ganímedes en Resonancia de Laplace.