Este artículo se refiere al operador del movimiento de rotación, tal como aparece en la mecánica cuántica.
Para cada rotación física R, se postula un operador de rotación (rotacional) mecánica cuántica D(R) que denota la rotación de los estados mecánicos cuánticos.
En cuanto a los generadores de rotación, siendo
que indica el eje de rotación y el segundo
para rotaciones infinitesimales, como se explica a continuación.
Por esta razón, primero se muestra cómo el operador de traslación está actuando sobre una partícula en la posición x (la partícula está entonces en el estado
Traslación de la partícula en la posición x a la posición x + a:
Debido a que una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, entonces (1 indica el operador identidad, que no introduce cambios): El desarrollo de Taylor da: con De lo que se sigue que: Esta es un ecuación diferencial con la solución
{\displaystyle \,{\mbox{T}}(a)={\mbox{exp}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right)}
Debido a que el operador de traslación se puede escribir en términos de
Este resultado significa que se conserva la cantidad de movimiento lineal para el sistema.
En la mecánica clásica, se tiene que el momento angular
Esto es lo mismo en mecánica cuántica, considerando a
del vector r = (x, y, z) sobre el eje z a r'= (x', y', z) dejando z sin cambios, puede expresarse mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor): De lo que se sigue para los estados: Y consecuentemente: Usando
y la expansión de Taylor, obtiene: con lz = x py - y px siendo la componente z del momento angular de acuerdo con el producto vectorial clásico.
, se construye la ecuación diferencial siguiente, utilizando la condición
que es rotacionalmente simétrico con respecto al eje z,
{\displaystyle \,[{\mbox{R}}(z,t),H]=0}
Este resultado significa que el momento angular se conserva.
Para el momento de giro angular sobre el eje y, simplemente se reemplaza
y se obtiene el operador de rotación espín
A partir del álgebra lineal se sabe que una cierta matriz
se puede representar en otra base a través de la transformación donde
es la matriz de transformación base.
en la primera base puede luego transformarse en el operador de giro
son los giros superiores en sus bases correspondientes.
Esto significa que si el estado
se gira alrededor del eje y con un ángulo
, un resultado que puede generalizarse a ejes arbitrarios.
Este resultado es importante, por ejemplo, en la inecuación de Sakurai Bell.