Wright comenzó su carrera en el Aberdeen, donde debutó en competición con 16 años en julio de 2014.
Disputó 80 partidos a lo largo de siete temporadas con el Aberdeen, y estuvo cedido en el Dundee en 2019.
Wright fue fichado por el Rangers en febrero de 2021, y se unió al Birmingham City en 2024.
Wright creció en el pueblo de Balmedie, en Aberdeenshire, donde era vecino del también futbolista Cammy Smith, y asistió a la Bridge of Don Academy.
[13] Al día siguiente marcó en casa ante el Wigan Athletic el gol de la victoria en el tiempo añadido.
[24] Escocia perdió ante Turquía en la tanda de penaltis y terminó cuarta.