Kryvtsov es un producto de las inferiores del Metalurh Zaporizhya, donde fue entrenado por Viktor Tryhubov.
Dejaría el club en mayo de 2012 para unirse a la plantilla del Shakhtar Donetsk.
El 11 de mayo de 2010 Serhiy, junto con Taras Stepanenko, firma para el FC Shakhtar Donetsk desde Metalurh en un contrato por cinco años.
En su debut con el club, Kryvtsov anotó el primer gol del partido cuando Inter Miami derrotó a CF Montréal 2-0.
Haría su primera aparición para el seleccionado nacional mayor en una derrota 4-0, en el amistoso disputado ante la República Checa el 6 de septiembre de 2011, jugando los 90 minutos.