En álgebra universal, enumera las operaciones que caracterizan a una estructura algebraica, y en teoría de modelos se utilizan para ambos propósitos.
Rara vez se hacen explícitos en tratamientos más filosóficos de la lógica.
Formalmente, una simbología (de clasificación única) se puede definir como una tupla de cuatro elementos
son conjuntos disjuntos y no contienen ningún otro símbolo lógico básico, llamados respectivamente Además, existe una función
que asigna un número natural llamado aridad a cada función o símbolo de relación.
Un símbolo de función o relación se denomina
Algunos autores definen un símbolo de función nula (
[1] Un simbología finita es aquella tal que
En álgebra universal, la palabra tipo o tipo similar se utiliza a menudo como sinónimo de "simbología".
a menudo se denomina vocabulario, o se identifica con el lenguaje de primer orden
, al que proporciona los símbolos no lógicos.
Como la definición formal no es muy práctica para su uso ordinario, la definición de una simbología específica a menudo se abrevia de manera informal, como en: A veces, una simbología algebraica se considera simplemente una lista de aridades, como en el caso siguiente: Formalmente, esto definiría los símbolos de función de la simbología como algo parecido a
(que es nulo), pero en realidad los nombres habituales se utilizan incluso en relación con esta convención.
En lógica matemática, muy a menudo no se permite que los símbolos sean nulos, por lo que los símbolos constantes deben tratarse por separado en lugar de como símbolos de funciones nulas.
en el que la función de aridad
Sin embargo, esto solo sirve para complicar las cosas, especialmente en demostraciones por inducción sobre la estructura de una fórmula, donde se debe considerar un caso adicional.
Cualquier símbolo de relación nula, que tampoco está permitido según dicha definición, puede emularse mediante un símbolo de relación unario junto con una oración que exprese que su valor es el mismo para todos los elementos.
Esta convención falla solo para estructuras vacías (que a menudo están excluidas por convención).
Si se permiten símbolos nulos, entonces cada fórmula de una lógica proposicional es también una fórmula de una lógica de primer orden.
para formalizar expresiones y ecuaciones sobre un espacio vectorial sobre un cuerpo escalar infinito
denota la operación unaria de multiplicación escalar por
De esta manera, la simbología y la lógica se pueden mantener ordenadas de forma única, siendo los vectores el único tipo.
[2] En el contexto de la lógica de primer orden, los signos de una simbología también se conocen como símbolos no lógicos, porque junto con los símbolos lógicos forman el alfabeto subyacente sobre el cual se definen inductivamente dos lenguajes formales: el conjunto de términos sobre la simbología y el conjunto de fórmulas (bien formadas) sobre la simbología.
En una estructura, una interpretación vincula los símbolos de función y relación a objetos matemáticos que justifican sus nombres: la interpretación de un símbolo de función
denota el producto cartesiano de orden
Para lógicas de muchos tipos y para estructuras variadas, las simbologías deben codificar información sobre los tipos.
La forma más sencilla de hacerlo es mediante símbolos tipo que desempeñan el papel de aridades generalizadas.
un conjunto (de algún tipo) que no contenga los símbolos
: los tipos de símbolos relacionales
y los tipos de símbolos funcionales