En la rama matemática del análisis funcional, un subespacio complementado de un espacio vectorial topológico
Formalmente, las sumas topológicas directas fortalecen la suma directa algebraica al requerir que ciertas aplicaciones sean continuas.
En general, clasificar todos los subespacios complementados es un problema difícil, que se ha resuelto solo para algunos espacios de Banach conocidos.
está bien definido y puede escribirse en términos de coordenadas como:
Así mismo, la segunda coordenada es la proyección canónica sobre
En la categoría de espacios vectoriales, los productos y coproductos finitos coinciden: algebraicamente,
Dado un problema que involucra elementos de
Entonces, se puede resolver el problema en los subespacios vectoriales y recombinarlos para formar un elemento de
En la categoría de los espacios vectoriales topológicos, esa descomposición algebraica se vuelve menos útil.
La definición de un espacio vectorial topológico requiere que la aplicación suma
sean morfismos, es decir, aplicaciones lineales "continuas".
; si la suma es en sentido topológico o algebraico generalmente se aclara a través del contexto.
Debido a que una aplicación lineal entre dos espacios normados (o de Banach) está acotado si y solo si es continuo, la definición en las categorías de espacios normados (respectivamente, de Banach) es la misma que en los espacios vectoriales topológicos.
si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:[1] Si además
tiene topología trivial y, por lo tanto, la proyección algebraica es continua.
es un subespacio vectorial cerrado y complementado de
distinto de cero, existe una funcional lineal continua en
[1] (para ver un ejemplo en el que esto no se cumple, consúltese el párrafo Espacios de Fréchet).
es una función sobreyectiva lineal continua, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: Los espacios vectoriales topológicos admiten el siguiente teorema de tipo Cantor-Schröder-Bernstein: Los supuestos de "autodivisión" de que
no se pueden eliminar: William Timothy Gowers demostró en 1996 que existen espacios de Banach no isomorfos
salvo isomorfismos es un problema clásico que ha motivado mucho trabajo en teoría de bases, particularmente el desarrollo de operadores absolutamente sumadores.
[12] Para algunos espacios de Banach la pregunta está cerrada.
Dichos espacios se denominan primos (cuando sus únicos subespacios complementados de dimensión infinita son isomorfos al original).
Sin embargo, estos no son los únicos espacios primos.
, de hecho, admiten incontables subespacios complementados no isomorfos.
respectivamente, por lo que de hecho son primos.
no es primo porque contiene una copia complementada de
Actualmente no se conocen otros subespacios complementados de
los espacios de Banach indescomponibles son primos.
es una sobreyección lineal continua cuya restricción a