Sueño del sofomoro

En matemáticas, el sueño de sophomore (en inglés sophomore’s dream) o traducido como el sueño del estudiante de segundo año, consiste en el par de identidades (especialmente la primera de ellas) descubiertas en 1697 por Johann Bernoulli.

Los valores numéricos de estas constantes son aproximadamente

Las demostraciones de las dos identidades son completamente análogas, por lo que sólo la demostración de la segunda de ellas se presenta.

Los ingredientes claves para la demostración son: En detalles, uno expande

como Por lo que Por el teorema de la convergencia uniforme de las series de potencia, uno puede intercambiar los operadores de suma e integral para obtener Para evaluar la integral de arriba, uno puede cambiar la variable de integración realizando la sustitución Con esta sustitución, los límites de integración se transforman en

obteniendo Por la identidad integral de Euler para el función gamma, tenemos que de modo que Si intercambiamos los índices para que empiece en

en lugar de

obtenemos Una generalización de las dos integrales de arriba consiste en la integral siendo

números reales, esto es,

Procediendo similarmente y utilizando la identidad puede demostrarse que Además de los casos

con el que recuperaríamos la integral y el caso

con el que obtenemos es interesante dar algunos valores a