Sustitución de Euler

La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma donde

+ b x + c

En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.

[1]​ La primera sustitución de Euler se utiliza cuando

Se tiene que y el término

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

de manera similar al caso anterior y entonces Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

+ b x + c

, se puede elegir Esto produce y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en

En la integral de 2do grado para poder analizar

se puede usar la primera sustitución y establecer

, así En consecuencia, se obtiene: Con

usando la primera sustitución de Euler,

Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene

, a partir de lo que los términos en

Resolviendo la ecuación, se obtiene

A partir de ahí, resulta que los diferenciales

están relacionados por Por lo tanto, En la integral se puede usar la segunda sustitución y configurar

Así y En consecuencia, se obtiene: Para evaluar se puede usar la tercera sustitución y configurar

Así y A continuación, Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios.

= ± i x + t

Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones.

Considérense las integrales de la forma donde

son funciones racionales de

+ b x + c

Esta integral se puede transformar mediante la sustitución

ahora son simplemente funciones racionales de

En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.