La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma donde
+ b x + c
En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.
[1] La primera sustitución de Euler se utiliza cuando
Se tiene que y el término
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
de manera similar al caso anterior y entonces Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
+ b x + c
, se puede elegir Esto produce y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en
En la integral de 2do grado para poder analizar
se puede usar la primera sustitución y establecer
, así En consecuencia, se obtiene: Con
usando la primera sustitución de Euler,
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene
, a partir de lo que los términos en
Resolviendo la ecuación, se obtiene
A partir de ahí, resulta que los diferenciales
están relacionados por Por lo tanto, En la integral se puede usar la segunda sustitución y configurar
Así y En consecuencia, se obtiene: Para evaluar se puede usar la tercera sustitución y configurar
Así y A continuación, Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios.
= ± i x + t
Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones.
Considérense las integrales de la forma donde
son funciones racionales de
+ b x + c
Esta integral se puede transformar mediante la sustitución
ahora son simplemente funciones racionales de
En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.