En matemáticas, un tensor antisimétrico o antisimétrico con respecto a un subconjunto de índices es un tensor que alterna signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto.
[1][2] Cuando un tensor es antisimétrico respecto a todos sus índices se llama tensor completamente antisimétrico o simplemente tensor anstisimétrico.
Por ejemplo: Son condiciones que satisface un tensor antisimétrico con respecto a sus primeros tres índices.
Es importante destacar que la condición de antisimetría requiere que en el subconjunto de índices respecto a los que existe antisimetría, todos los índices sean covariantes o contravariantes, ya que los tensores subconjuntos mixtos están excluidos de la condición de antisimetría.
Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden
puede denominarse forma diferencial
, y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse
tiene la propiedad de que la contracción con un tensor
es idénticamente 0: Para un tensor general U con componentes
y un par de índices
U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como: Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices.
Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en
Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes.
Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,
y para un tensor covariante de orden 3 T
[ a b c ]
a b c
a c b
b c a
b a c
c a b
c b a
En 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir como
[ a b c ]
a b c
es el delta de Kronecker generalizado, y utilizamos la notación de Einstein para sumar sobre índices similares.
De forma más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices
En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como:
Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.
Los tensores totalmente antisimétricos incluyen: