Tensor de densidad de flujo de impulsión

El tensor de densidad de flujo de impulsión[1]​ viene dado por: Considérese un fluido con velocidad

: la impulsión de la unidad de volumen del fluido es igual a

la densidad del fluido.

La tasa de variación es por tanto:

En notación tensorial se tiene que:

Empleando la ecuación de continuidad:

; y la ecuación de Euler:

{\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}=-v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}

Gracias a estas dos ecuaciones, se deduce que:

que a su vez puede escribirse como

i k

{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}=\delta _{ik}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}}

i k

p + ρ

{\displaystyle {\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=-{\frac {\partial (\delta _{ik}p+\rho v_{i}v_{k})}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial \Pi _{ik}}{\partial x_{k}}}}

Para resaltar el significado del tensor

, se debe integrar la ecuación anterior en un volumen determinado: Según el teorema de Ostrogradsky-Gauss, se puede escribir:

En el primer miembro aparece la variación por unidad de tiempo de la i-ésima componente del impulso en el volumen considerado.

Lo que significa que el segundo miembro representa la cantidad de este impulso que fluye por unidad de tiempo a través de la superficie que delimita el volumen considerado.

Al escribir

, se puede decir que:

{\displaystyle \Pi _{ik}n_{k}=pn_{i}+\rho v_{i}v_{k}}

, que corresponde a la expresión vectorial

{\displaystyle p{\vec {n}}+\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})}

Esto permite concluir que

es la i-ésima componente de la cantidad de impulso que cruza por unidad de tiempo la unidad de área normal al eje