En matemáticas, específicamente en álgebra multilineal, un tensor diádico (también denominado simplemente como diádico) es un tensor de segundo orden representado en una notación acorde con el álgebra vectorial.
Ambos tienen varias interpretaciones geométricas importantes y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería.
El producto diádico toma dos vectores y devuelve un tensor de segundo orden, denominado tensor diádico, que se puede utilizar para contener información física o geométrica, aunque en general no existe una forma directa de interpretar esta información geométricamente.
Por lo tanto, el producto diádico es lineal con respecto a ambas operaciones.
En general, se pueden sumar dos tensores diádicos para obtener otro tensor diádico, y se puede multiplicarlos por un números para escalar sus componentes.
Sin embargo, el producto de tensores diádicos no es conmutativo; cambiar el orden de los vectores da como resultado tensores diádicos diferentes.
El formalismo del álgebra diádica es una extensión del álgebra vectorial para incluir el producto diádico de vectores.
El producto diádico también es asociativo con los productos escalar y vectorial con respecto a otros vectores, lo que permite combinar los productos escalar, vectorial y diádico para obtener otros escalares, vectores o tensores diádicos.
Además, los productos escalar, vectorial y diádico se pueden expresar en forma matricial.
Las expresiones diádicas pueden parecerse mucho a sus equivalentes matriciales.
El efecto que tiene un tensor diádico determinado sobre otros vectores puede proporcionar interpretaciones físicas o geométricas indirectas.
La notación diádica fue establecida por primera vez por Josiah Willard Gibbs en 1884.
Sus usos en física incluyen la mecánica de medios continuos y el electromagnetismo.
En este artículo, las variables en mayúsculas y negrita denotan tensores diádicos, mientras que las variables en minúsculas y negrita denotan vectores.
Una notación alternativa utiliza barras superiores o inferiores dobles y simples, respectivamente.
Para ilustrar el uso del producto, considérese el espacio euclídeo tridimensional, haciendo que sean dos vectores, en los que i, j, k (también denominados e1, e2, e3) son una base estándar en este espacio vectorial (véase también coordenadas cartesianas).
Así, como los vectores de la base estándar (y unitarios) i, j, k, tienen las representaciones: (que se pueden transponer), las díadas de base estándar (y unidad) tienen la representación: A continuación se facilita un ejemplo numérico simple en la base estándar: Si el espacio euclídeo es N-dimensional, y donde ei y ej son los vectores de la base canónica en N dimensiones (el índice i en ei selecciona un vector, no un componente del vector como en ai), entonces en forma algebraica su producto diádico es: Esto se conoce como la "forma noión" de un tensor diádico.
Su producto externo/tensor en forma matricial es: Un polinomio diádico A, también conocido como diádico, se forma a partir de múltiples vectores ai y bj: Un diádico que no puede reducirse a una suma de menos de N díadas se dice que es completo.
En este caso, los vectores que lo forman no son coplanarios (véase Chen (1983)).
La siguiente tabla clasifica los tensores diádicos: Las siguientes identidades son consecuencia directa de la definición del producto tensorial:[3] Hay cuatro operaciones definidas sobre un vector y diádicas, construidas a partir de los productos definidos sobre vectores.
La primera definición del producto escalar doble es el producto interior de Frobenius, Además, dado que, se entiende que y entonces la segunda definición posible del producto escalar doble es como la primera, pero con una transposición adicional en el segundo diádico.
Por estas razones, se prefiere la primera definición del producto escalar doble, aunque algunos autores todavía utilizan la segunda.
Se puede ver que, para cualquier díada formada a partir de dos vectores a y b, su producto vectorial doble es cero.
Sin embargo, por definición, un producto diádico vectorial doble sobre sí mismo generalmente será distinto de cero.
, la unidad diádica se expresa por En la base estándar (para las definiciones de i, j, k consúltese la sección anterior Espacio euclídeo tridimensional), Explícitamente, el producto escalar por la derecha de la unidad diádica es y por la izquierda La matriz correspondiente es Esto se puede plantear sobre bases más cuidadosas (explicando lo que podría significar el contenido lógico de la notación yuxtapuesta) utilizando el lenguaje de los productos tensoriales.
En este sentido, la unidad diádica ij es la función del espacio tridimensional sobre sí mismo enviando a1i + a2j + a3k a a2i, y jj envía esta suma a a2 'j.
Ahora se revela en qué sentido (preciso) ii + jj + kk es la identidad: envía a1i + a2j + a3k sobre sí mismo, porque su efecto es sumar cada vector unitario en la base estándar escalada por el coeficiente del vector en esa base.
Un vector a distinto de cero siempre se puede dividir en dos componentes perpendiculares, una paralela (‖) a la dirección de un vector unitario n y otra perpendicular (⊥) a él; La componente paralela se encuentra mediante la proyección vectorial, que es equivalente al producto escalar de a por el tensor diádico nn, y la componente perpendicular se encuentra a partir de la reyección vectorial, que es equivalente al producto escalar de a por el tensor diádico I − nn, El tensor diádico es un operador de rotación de 90° en sentido antihorario en 2d.
Se puede puntear a la izquierda con un vector r = xi + y'j para producir el vector, en resumen o en notación matricial Para cualquier ángulo θ, el tensor diádico de rotación 2d para una rotación en sentido antihorario en el plano es donde I y J son como anteriormente, y la rotación de cualquier vector 2d a = axi + ayj es Se puede realizar una rotación general 3d de un vector a, alrededor de un eje en la dirección del vector unitario ω y en sentido antihorario a través del ángulo θ, usando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma diádica donde el tensor diádico de rotación es y las entradas cartesianas de ω también forman las del tensor diádico El efecto de Ω sobre a es el producto vectorial que es la forma diádica del producto vectorial con un vector columna.
Algunos autores generalizan el término diádico a conceptos relacionados como tríadico, tetrádico y poliádico.