En matemáticas y física teórica, un tensotorio se refiere a la aplicación iterada del producto tensorial sobre una secuencia finita o infinita de tensores.
Es una operación que generaliza la idea de agregación de tensores en espacios de dimensiones superiores.
El término "tensotorio" es un neologismo acuñado para describir este proceso de manera análoga a "sumatorio" (para sumas) y "productorio" (para productos).
Dada una secuencia de tensores
, el tensotorio se define como el producto tensorial iterado:
denota el operador de producto tensorial, y el resultado es un tensor de dimensiones superiores cuyo rango es la suma de los rangos de los tensores individuales.
Por lo tanto, el orden de las operaciones en un tensotorio no afecta el resultado.
{\displaystyle {\text{dim}}(\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i})=\prod _{i=1}^{n}{\text{dim}}(T_{i})}
Consideremos dos vectores
Su producto tensorial es:
Extendiendo esto a un tensotorio de tres vectores
{\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {u}}}
{\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{3}{\vec {v}}_{i}={\vec {v}}\otimes {\vec {w}}\otimes {\vec {u}}}
lo que da como resultado un tensor tridimensional.
Dados dos matrices
, su producto tensorial es:
a ⋅ e
a ⋅ f
b ⋅ e
a ⋅ g
a ⋅ h
b ⋅ g
b ⋅ h
c ⋅ f
d ⋅ f
c ⋅ h
d ⋅ g
{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a\cdot B&b\cdot B\\c\cdot B&d\cdot B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot e&a\cdot f&b\cdot e&b\cdot f\\a\cdot g&a\cdot h&b\cdot g&b\cdot h\\c\cdot e&c\cdot f&d\cdot e&d\cdot f\\c\cdot g&c\cdot h&d\cdot g&d\cdot h\end{bmatrix}}}
Un tensotorio sobre múltiples matrices
sigue este mismo patrón, produciendo una estructura de dimensiones superiores.