Teoría de vigas de Timoshenko
Mostró, a través del ejemplo de una viga apoyada sencilla, que la corrección frente a cortante es cuatro veces más importante debido a la inercia de rotación en comparación con la teoría de Euler-Bernoulli.
Teniendo en cuenta las suposiciones anteriores podemos definir el campo de desplazamientos.
representa la pendiente del eje de la viga y
representa una rotación adicional debida a la distorsión de la sección transversal.
Por lo tanto, A partir del campo de desplazamientos, las relaciones deformación-desplazamiento para el caso de deformaciones infinitesimales proporcionan las deformaciones normales y angulares del siguiente modo: Deformaciones normales: Deformaciones angulares: Se observa que la hipótesis cinemática principal de la Teoría de Vigas de Timoshenko (suposición básica n°4) introduce una deformación angular
, está uniformemente distribuida en la sección transversal de la viga.
Podemos expresar esto matemáticamente como: Del mismo modo podemos definir la fuerza cortante
Matemáticamente se expresa como: Reemplazando en estas expresiones el valor de los esfuerzos normales (
), nos indica que la variación a través del espesor del elemento es lineal, la cual podemos considerar exacta, de acuerdo con la teoría clásica de vigas.
), nos muestra que su distribución en la sección transversal es uniforme (independiente de las coordenadas
Este resultado puede considerarse como una "mejora" en comparación con la teoría de Euler-Bernoulli, que predice
uniformemente distribuido en la sección transversal tampoco puede considerarse como exacto, ya que está en clara contradicción, por ejemplo, con la distribución parabólica de
, que busca hacer coincidir el trabajo de deformación constante con el exacto.
se denomina área reducida de la sección transversal.
La determinación precisa de este coeficiente no es sencilla en el caso general y varios autores han proporcionado estimaciones para distintas secciones transversales; por ejemplo, Cowper (1966)[3] proporcionó expresiones para
de corrección de cortante para vigas con materiales elásticos isotrópicos, según Cowper, para las secciones más comunes.
Interesa a continuación encontrar el campo de desplazamientos transversales
Eventualmente, podría ser necesario también obtener el giro de la sección transversal
Comenzaremos planteando las ecuaciones de equilibrio para un elemento diferencial de viga como el que se muestra en la figura, en la que además se explicita la convención de signos que se utilizará en este desarrollo.
para el elemento diferencial, se obtiene: Del equilibrio de momentos, se obtiene: Por otra parte, combinando la expresión para el momento flector
proporcionada más arriba (en el apartado sobre Campo de Desplazamientos) y utilizando
, que puede resolverse por doble integración si se conoce dos condiciones de contorno y si se conoce la distribución del momento flector
Esta ecuación es: Alternativa 2 Si se deriva con respecto a
y asumiendo sección transversal constante, se obtiene una ecuación diferencial en la que aparece la derivada de la fuerza cortante
Esta derivada se puede eliminar usando el equilibrio de fuerzas expresado más arriba, para obtener una ecuación diferencial de cuarto orden en incógnita
que podrá resolverse en términos de la carga distribuida
, siempre que se conozca cuatro condiciones de contorno.
ya mencionada, mientras que la segunda proviene de reescribir la expresión para
dada en el apartado sobre Campo de Desplazamientos, teniendo en consideración (1), la relación
en términos del cortante si se conoce una condición de contorno para la deformada.
