El teorema fundamental del álgebra afirma que si se tiene un polinomio no constante con coeficientes racionales (o de manera equivalente, mediante eliminación de denominadores, con coeficientes enteros), entonces ese polinomio tendrá una raíz en los números complejos.
Si no existe tal polinomio, entonces el número se llama trascendente.
Un conjunto de números {α1, α2, …, αn} se llama algebraicamente independiente sobre un cuerpo K si no hay ningún polinomio P distinto de cero en n variables con coeficientes en K tal que P(α1, α2, …, αn) = 0.
Una noción relacionada es si existe una forma cerrada para un número, incluidos exponenciales y logaritmos, así como operaciones algebraicas.
El uso del término trascendente para referirse a un objeto que no es algebraico se remonta al siglo XVII, cuando Gottfried Leibniz demostró que la función seno no era una función algebraica.
[4] Sus artículos originales sobre el tema en la década de 1840 esbozaron argumentos usando fracciones continuas para construir números trascendentes.
En particular, esto probó que π es trascendente, ya que eπi es algebraico, y por lo tanto respondió negativamente al problema de la antigüedad clásica sobre si era posible obtener la cuadratura del círculo empleando un número finito de operaciones realizadas exclusivamente con regla y compás.
Karl Weierstraß desarrolló su trabajo aún más y finalmente probó el teorema de Lindemann–Weierstrass en 1885.
En la década de 1930, Aleksandr Guélfond[13] y Theodor Schneider[14] demostraron que todos esos números eran realmente trascendentes utilizando una función auxiliar no explícita cuya existencia fue asegurada por el lema de Siegel.
El siguiente gran resultado en este campo se produjo en la década de 1960, cuando Alan Baker avanzó en un problema planteado por Gelfond en formas lineales en logaritmos.
Sin embargo, había eludido encontrar límites inferiores similares para la suma de tres o más logaritmos.
Este trabajo le valió a Baker la Medalla Fields por sus usos para resolver ecuaciones diofánticas.
[17] Mientras que el resultado de Cantor a menudo se cita como puramente existencial y, por lo tanto, inutilizable para construir un solo número trascendente,[18][19] las demostraciones en los dos artículos antes mencionados brindan métodos para construir números trascendentes.
Stephen Schanuel conjecturó que la respuesta es al menos n, pero no se conoce ninguna demostración.
Además, en esta estructura abstracta, la conjetura de Schanuel sí se cumple.
Un problema típico en esta área de las matemáticas es averiguar si un número dado es trascendente.
Por esta razón, la teoría de la trascendencia a menudo trabaja hacia un enfoque más cuantitativo.
Por ejemplo, si se supone que el número α es algebraico, ¿se puede demostrar que debe estar asociado a un polinomio de grado muy alto o a un polinomio mínimo con coeficientes muy grandes?
En última instancia, si es posible demostrar que ningún grado o tamaño finito de los coeficientes es suficiente, entonces el número debe ser trascendente.
Kurt Mahler en 1932 dividió los números trascendentes en tres clases, llamadas S, T y U.
A continuación, considérense los valores de los polinomios asociados a un número complejo x, cuando estos polinomios tienen coeficientes enteros, grado como máximo n y altura como máximo H, con n y H siendo enteros positivos.
el valor absoluto mínimo distinto de cero que tales polinomios toman en
William LeVeque en 1953 construyó U números de cualquier grado deseado.
[25] Los T números también comprenden un conjunto de medida 0,[26] y se tardó unos 35 años en demostrar su existencia.
Dos números x, y se llaman algebraicamente dependientes si hay un polinomio distinto de cero P en dos variables con coeficientes enteros tales que P( x, y) = 0.
Jurjen Koksma en 1939 propuso otra clasificación basada en la aproximación por números algebraicos.
Las afirmaciones de casi todos los números fueron conjeturadas por Mahler y en 1965 probadas por Vladimir Sprindzhuk.
Muchas constantes matemáticas bien conocidas aún no se sabe si son trascendentes, y en algunos casos ni siquiera se sabe si son racionales o irracionales.
Se puede encontrar una lista parcial en el artículo dedicado a los números trascendentes.
Otro problema importante es tratar con números que no están relacionados con la función exponencial.