Es un refuerzo del teorema de Kummer en el sentido que el número primo p divide el número de clase del campo ciclotómico de la p-iésimas raíces de la unidad si y solo si p divide al numerador del n-ésimo número de Bernoulli Bn para algún n, 0 < n < p − 1.
El teorema de Herbrand–Ribet especifica en particular, cuando es que p divide a Bn.
se tienen p − 1 raíces de la unidad, cada una de las cuales es congruente mod p con algún número en el rango entre 1 y p − 1; por lo tanto se puede definir un carácter de Dirichlet ω (el carácter de Teichmüller) con valores en
-módulo, y se pueden aplicar elementos en el anillo de grupo
a él y obtener elementos del grupo de clase.
Entonces se tiene el teorema de Herbrand–Ribet:[1] Gn es notrivial si y solo si p divide al número de Bernoulli Bp−n.
Las parte que dice que p divide Bp−n si Gn no es trivial es el aporte de Herbrand.
El inverso, que si p divide Bp−n entonces Gn no es trivial se debe a Kenneth Ribet, y es significativamente más difícil.