Teorema de Marden

El teorma de Marden precisa más concretamente su posición: Supóngase que los tres ceros complejos de un polinomio p(z) de tercer grado son z1, z2 y z3 y supóngase que estos tres puntos del plano complejo no sean colineales.

[1]​ Una versión más general del teorema, debida a Linfield (1920), es aplicable a polinomios p(z) = (z - a)i (z - b)j (z - c)k cuyos grados cumplan que i + j + k pueda ser mayor que tres, pero que sólo tenga tres raíces a, b y c. Para tales polinomios, las raíces de la derivada pueden ser raíces múltiples de un polinomio dado (las raíces cuyos exponentes son mayores a uno) y en los focos de una elipse cuyos puntos de tangencia al triángulo dividen a sus lados en los ratios i : j, j : k y k : i.

El teorema de Marden todavía es aplicable: los focos de esta elipse tangente en los puntos medios son ceros del polinomio derivado cuyos ceros son los vértices del n-gono.

Jörg Siebeck descubrió este teorema 81 años antes de que Marden escribiese sobre él.

Marden (1945, 1966) atribuyó lo que ahora se conoce como teorema Marden a Siebeck (1864) y citó nueve artículos que incluían una versión del teorema.

Un triángulo y la elipse inscrita de Steiner. Los ceros de p ( z ) son los puntos negros, los ceros de p' ( z ) son los puntos rojos). El punto central verde es el cero de p "( z ). El teorema de Marden afirma que los puntos rojos son focos de la elipse de Steiner.