Teorema de Paley–Wiener

El teorema se nombra para Raymond Paley (1907–1933) y Norbert Wiener (1894–1964).

Los teoremas originales no utilizaban el lenguaje de las distribuciones y, en cambio, se aplicaban a funciones cuadradas integrables.

El primer teorema de este tipo que usa distribuciones se debió a Laurent Schwartz.

Formalmente, la idea es tomar la integral que define la transformada de Fourier (inversa).

y permitir que ζ sea un número complejo en el semiplano superior.

Entonces se puede esperar diferenciar bajo la integral para verificar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se mantienen, y por lo tanto, que f define una función analítica.

Sin embargo, esta integral puede no estar bien definida, incluso para F en L2(R); (de hecho, como ζ está en la mitad superior del plano, el módulo de eixζ crece exponencialmente como

) por lo tanto la diferenciación bajo el signo integral está fuera de discusión.

es una función completa de tipo exponencial A, lo que significa que hay una constante C tal que y además, f es integrable por cuadrados sobre líneas horizontales: A la inversa, cualquier función completa de tipo exponencial A que sea integrable en forma cuadrada sobre líneas horizontales es la transformada de Fourier holomorfa de una función L2 admitida en [−A, A].

Si v es una distribución de soporte compacto y f es una función infinitamente diferenciable, la expresión está bien definido.

Se puede mostrar que la transformada de Fourier de v es una función (en oposición a una distribución general moderada) dada en el valor s por

y que esta función puede extenderse a los valores de s en el espacio complejo Cn.

entonces v es una función infinitamente diferenciable, y viceversa.Los resultados más agudos que dan un buen control sobre el soporte singular de v han sido formulados por Hörmander (1976).

En particular,[4]​ sea K un conjunto compacto convexo en Rn con función de soporte H, definida por Entonces el soporte singular de v está contenido en K si y solo si hay una constante N y una secuencia de constantes Cm tal que para |Im(ζ)| ≤ mlog(|ζ|+1).